基于函数隐零点问题的导数处理策略

张 庆

(江苏省徐州市侯集高级中学 221300)

摘 要：本文主要介绍了函数中隐零点问题的处理方法，给出了相关案例，对于具体实例进行了细致的分析.

关键词：导数;函数;隐零点

按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”.对于隐零点问题，由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧，对学生综合能力的要求较高，成为考查的难点.

一、分离函数法

例1 已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R).

(1)若函数f(x)在区间[e，+∞)上为增函数，求a的取值范围；

(2)当a=1且k∈Z时，不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1，+∞)上恒成立，求k的最大值.

解析 (1)∵函数f(x)在区间[e，+∞)上为增函数，

∴f ′(x)=a+lnx+1≥0在区间[e，+∞)上恒成立，

∴a≥(-lnx-1)max=-2.

∴a≥-2.

∴a的取值范围是[-2，+∞).

(2)当a=1时，f(x)=x+xlnx，k∈Z时，不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1，+∞)上恒成立，

令则

令h(x)=x-lnx-2(x>1).

则

∴h(x)在(1，+∞)上单调递增，

∵h(3)=1-ln3<0，h(4)=2-2ln2>0，

存在x0∈(3，4)，使h(x0)=0，

即当1<x<x0时，h(x)<0，即g′(x)<0，

当x>x0时，h(x)>0，即g′(x)>0，

g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增.

令h(x0)=x0-lnx0-2=0，即lnx0=x0-2，

k<g(x)min=x0∈(3，4)，且k∈Z，

∴kmax=3.

点评 变量分离是数学中最常见的一类求解方法，本例中除了采用分离变量的方法外，还需要通过函数构造进行求解，这类求解方法的好处在于不需要对问题进行分类讨论，从而使得对问题的求解更加的简便.

二、整体代换法

例2 设函数f(x)=e2x-alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f ′(x)的零点的个数；

(2)证明：当a>0时，

解析 (1)f(x)的定义域为由f ′(x)=0得2xe2x=a.令g(x)=2xe2x，g′(x)=(4x+2)e2x>0(x>0)，从而g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0.

当a>0时，方程g(x)=a有一个根，即f ′(x)存在唯一零点；

当a≤0时，方程g(x)=a没有根，即f ′(x)没有零点.

(2)证明 由(1)可设f ′(x)在(0，+∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f ′(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，f ′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，所以[f(x)]min=f(x0).

由得又得所以

故当a>0时，

点评 整体代换的思想在中学数学中的运用也是十分常见的，而本例中就能够很好的展现出这类方法的高效性，在该问题的求解过程中，我们发现的合理代换使用可快速的将超越方程化简成熟悉的普通的代数方程，从而使问题得到解决.

三、设而不求法

例3 已知函数

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：

解析 (1)f(x)的定义域为

①若f ′(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f ′(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减.

②若a>2，令f ′(x)=0得，或

当∞)时，f ′(x)<0；

当时，f ′(x)>0.

所以f(x)在∞)上单调递减，在上单调递增.

(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2.

由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2-ax+1=0，

所以不妨设x1<x2，则x2>1.由于

所以等价于

设函数由(1)知，g(x)在(0，+∞)上单调递减，

又g(1)=0，从而当x∈(1，+∞)时，g(x)<0.

所以即

点评 利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，设而不求的方法一般在圆锥曲线中经常遇到，其实在函数问题中，若遇到函数极值，零点问题时该方法也是处理该问题的一种常见处理方式.

作者简介：张庆(1980.10-)，男，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.