中考数学压轴题分析：二次函数图象的平移问题

本文内容选自2021年玉林中考数学压轴题。以二次函数为背景，考查二次函数的平移问题。难度不大。

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【中考真题】

（2021·玉林）已知抛物线：（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若直线yx与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；
（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y上，设直线l与y轴的交点为O′，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若O′P＝O′Q，求点P，Q的坐标．

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【分析】

（1）提取a，令y=0，以及代入对称轴的公式即可。

（2）联立两个解析式，根据对称得到x1+x2=0即可得到a的值。

（3）求出平移的距离，用未知数表示P和Q的坐标，再根据O′P=O′Q建立等量关系即可。

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【答案】解：（1）取y＝0，则有，
即，
解得，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
对称轴为直线x，
（2）设M的横坐标为，N的横坐标为，
根据题意得：，
即，
，
又∵M，N关于原点对称，
∴，
∴a，
∴，
（3）∵，
由题意得向上平移后的抛物线解析式为，
∴抛物线向上平移了四个单位，
设P（x，），则Q（x，），
由题意得O'（0，），
∵O′P＝O′Q，
∴，
解得，，
若，
则y，
∴P（，），Q（，），
若，
则y，
∴P（，），Q（，），
综上，P（，），Q（，）或P（，），Q（，）．

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