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题目：某土豪买了一个大别墅，客厅是一个边长为10米的正方形。该土豪订做了25块大瓷砖，其中20块是边长为2米的正方形，另外5块是长4米、宽1米的长方形。土豪想在不切割瓷砖的情况下，用这25块瓷砖把客厅铺满。请问土豪的想法能实现吗？ 今天的题目是拼图问题，详细讲解后小学4年级学生可以听懂。 如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。 思路分析： 这道题属于拼图问题，要说明土豪的想法能够实现，只需要构造出一种瓷砖的铺法； 要说明土豪的想法不能实现，需要给出严格的证明。 这类题目大多选择严格的证明，证明方法还是采用神奇的染色法。 将客厅划分为100个边长1米的正方形，寻找一种染色的方法，使染色以后的某种颜色小正方形个数，用土豪订做的两种瓷砖不可能拼凑出。 步骤1： 先思考第一个问题，如何对客厅进行染色？ 染色方法的选取没有固定的方法，全靠灵机一动，在数学上灵机一动往往是最难的。 染色法有一个很重要的原则：不管瓷砖铺设在哪个地方，每块瓷砖包含的色块应有某种不变的性质。 我们选取奇偶性作为这种不变的性质，采用如下图所示的染色方法：  步骤2： 再思考第二个问题，客厅中有多少个红色小块？ 这个问题很简单，直接对步骤1的图形计数，红色小块的数量是51块。 步骤3： 综合上述几个问题，考虑原题目的答案。 按照步骤1中的染色方法，不管瓷砖怎么铺，每个正方形瓷砖都包含1或3块红色，每个长方形瓷砖都包含2块红色。 由于偶数个奇数相加一定是偶数，故在不切割瓷砖的情况下，20个正方形瓷砖包含偶数块红色，而5个长方形瓷砖包含10块红色，则所有瓷砖共包含偶数块红色。 但根据步骤2的结论，客厅中共有奇数块红色。 因此不管怎么铺设瓷砖，都不可能不切割而铺满客厅。 所以土豪的想法不能实现。 你学会了吗？ 有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题 思考题：如果两个正整数的最大公约数是1，就称这两个自然数互质。小明说：任意3个连续的奇数都两两互质。请问小明说的正确吗？ 【卡拉数学】长期分享数学趣题、解题技巧，致力于数学科普和拓展数学思维，每日定更，觉得内容有兴趣的可以长期关注哦！ |
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