 为什么说指数函数是奇妙的？原因很多。首先，普通的指数函数在两个方向上形成鲜明的对比：它在一个方向上非常快地趋于无穷大，而在另外一个方向却单调地趋于定值 。很多科普文都谈到前者的例子，比如那个著名的国际象棋问题，还有对折纸张超越珠峰。有人总对这两个问题的结果表示怀疑，即使是亲自计算了以后也觉得太过违反常识。这里我分别用不同的方法来解释一下，希望大家看了以后能“在感情上”接受。 对于国际象棋棋盘摆放麦粒的这个题目来说，第一行所摆放的诚然微不足道，但第二行第一个格上放的就比第一行的所有还要多 个，而且是第一行第一格的 倍。第三行第一格又是第二行第一格的 倍，即第一行第一格的 倍！我想，大家已经可以从这里看出指数增长的威力了吧。类似可以发挥“指数增长”威力的还有生物的繁殖，当然得在足够充足的营养等条件下。这样继续说下去就会遇到达尔文的进化论和马尔萨斯的人口论。这方面的问题还是请大家参阅有关资料吧。
▲ 国际象棋盘与麦粒问题(图自维基百科) 对于折纸超越珠峰的问题，我们可以换个方向考虑：珠峰那么高的尺度，从中间截几次能够变得不那么“恐怖”呢？以 米来说，截一次是 米，两次是 米…七次就不到 米了，这完全是一座普通高楼的尺度。不过，从这个例子继续计算下去，我们会看到这个衰减越来越慢，这正是指数衰减的特点。放射性元素的衰变就是指数衰减的典型例子。 把指数函数和适当的常数配合起来就可以让它趋于任何可能的定值，这样的式子不但出现在阻力和速度成正比的力学方程里，也出现在带电容器和电感器的电路暂态过程中。事实上，我们可以看出这两个问题的微分方程非常相似，这是指数衰减出现同时出现在这两者里的深层原因。另外，这里的指数部分往往带个常数（以 为底的话），把这个常数和自变量 组合成 的形式，根据量纲的要求， 必然和 具有相同量纲，如果 表示时间，则 往往被称为时间常数，用来衡量衰减的快慢。  看，我们已经对指数部分动了手脚，那不妨玩得“大一些”。我们在正态分布、气体速率分布函数、黑体辐射等场合都能看到指数函数的变形。  进一步，如果我们把指数部分改成虚数或者说是复数，指数函数就变成了三角函数。长期以来人们一直认为虚数仅是一种纯粹的数学处理方式，可以在某些方面简化数学计算，我们的物理世界归根到底还是实数的，但最近我国学者却通过实验发现，虚数可能是处理量子问题时不可避免的。这让虚指数有了坚实的现实基础。真是不看不知道，指数函数真奇妙。  |
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