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原题重现： 1、如图，D为等腰RT△ABC外一点，若∠ADB=90°，求证： （1）AD-BD=√2CD； （2）∠ADC=45°
思路分析： 已知：AC=BC；∠ACB=∠ADB=90°；进一步倒角可得∠CAD=∠CBD；要求线段和差倍分的关系，常见方法为截长补短，又考虑题目等腰直角三角形的特殊性，构造直角三角形也不失为一种好方法。 方法讲解： 法一：截长补短（在AD上取一点E，使AE=BD，连接CE） ①由∠CAD+∠BAD+∠CBA=∠BAD+∠CBA+∠CBD=90°得∠CAD=∠CBD； ②△CAE≌△CBD（ASA） ③∠ACE=∠BCD，CE=CD； ④△CED为等腰直角三角形，得证。 法二：构造直角三角形（过C作CE⊥CD交AD于点E） ①倒角可得∠CAD=∠CBD，∠ACE=∠BCD； ②△CAE≌△CBD（ASA） ③AE=BD，CE=CD； ④△CED为等腰直角三角形，得证。 法三：四点共圆（对于问题（2））最简单 原题重现： 2、如图，D为等腰RT△ABC外一点，若∠ADC=45°，求证：∠ADB=90° 思路分析： 已知： AC=BC；∠ACB=90°，∠ADC=45°； 问题的关键是45°角怎么用. 方法讲解： 法一：构造直角三角形（过C作CE⊥CD交AD于点E） ①△ABC和△DEC均为等腰直角三角形； ②△CAE≌△CBD（ASA） ③∠AEC=∠BDC 法二：四点共圆
原题重现： 3、如图，D为外一点，若∠ADC=45°，∠ADB=90，求证：AC=BC.
方法讲解： 法一：构造直角三角形（过C作CE⊥CD交AD于点E）
①△DEC为等腰直角三角形； ②倒角得∠ACE=∠BCD，∠AEC=∠BDC=135°； ③△CAE≌△CBD（ASA），得证。 法二：四点共圆
总结归纳： 对于等腰RT△ABC外一点，若这一点与底边构成一个以其为斜边的直角三角形，有如下结论： 1、当这一点与等腰的顶点同侧 （1）AD-BD=√2CD； （2）∠ADC=45°
2、当这一点与等腰RT△ABC的顶点异侧 ①AD+BD=√2CD； ②CD平分∠ADB.
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