【2020河南中考试卷23】(11分) 将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α，连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E，连接DB'，CE. (1)如图①，当α＝60°时，△DEB′的形状为______，连接BD，可求出(BB'/CE)的值为________； (2)当0°＜α＜360°，且α≠90°时， ①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出(BE/B'E)的值．
①△ABB'是等边三角形， ②△ADB'是底角为75°的等腰三角形， ③根据∠BB'E=180°，求出∠DB'E=45°， 即可证明△DEB'的形状为等腰直角三角形；
∵四边形ABCD是正方形， △DEB′是等腰直角三角形， ∴BD/CD＝√2，DB'/DE＝√2， ∴BD/CD＝DB'/DE. ∵∠CDB＝∠EDB'， ∴∠B'DB＝∠EDC， ∴△B'DB∼△EDC， ∴BB'/CE＝BD/CD＝√2.
 第二问①上半场 
①△ABB'为等腰三角形， 顶角为α，底角为90°-α/2， ②△ADB'为等腰三角形， 顶角为α-90°，底角为135°-α/2， ③∠DB'E=(135°-α/2)-(90°-α/2)=45°， 即可证明△DEB'为等腰直角三角形.
①△ABB'为等腰三角形， 底角为x，顶角为180°-2x， ②△ADB'为等腰三角形， 顶角为90°-2x，底角为45°+x， ③∠DB'E=(45°+x)-x=45°， 即可证明△DEB'为等腰直角三角形.
①△ABB'为等腰三角形，∠1=∠2， ②△ABH∼△EDH，∠1=∠3， 易证∠2=∠3， ③△ADB'为等腰三角形， ∠2+∠4=∠3+∠5， 易证∠4=∠5， 即可证明△DEB'为等腰直角三角形.
此法最妙！！！ ①点B、D、B'位于以点A为圆心，AB为半径的圆上， ②因为弧BD所对的圆心角∠BAD=90°， 所以弧BD所对的圆周角∠BB'D=(1/2)∠BAD=45°， 即可证明△DEB'为等腰直角三角形. 第二问①下半场 
∵四边形ABCD是正方形， △DEB′是等腰直角三角形， ∴BD/CD＝√2，DB'/DE＝√2， ∴BD/CD＝DB'/DE. ∵∠EDB'＝∠CDB， ∴∠B′DB＝∠EDC， ∴△B'DB∼△EDC， ∴BB'/CE＝BD/CD＝√2.
点A、B、C、D、E位于以点O(正方形中心)为圆心，OA为半径的圆上， ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠CED=∠CBD=45°， ∴∠BB'D=∠CED； ∵∠EDB'＝∠CDB， ∴∠B'DB＝∠EDC； ∴△B'DB∼△EDC， ∴BB'/CE＝BD/CD＝√2. 点A、B、C、D、E位于以点O(正方形中心)为圆心，OA为半径的圆上， ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠EBD=∠ECD，∠CED=∠CBD=45°， ∴∠BB'D=∠CED， ∴△B'DB∼△EDC， ∴BB'/CE＝BD/CD＝√2.
①以点A为圆心，AB为半径画圆， 作出点B'的运动路径； ②∵CD为平行四边形的边， ∴B'E∥ CD， ∵B、B'、E三点共线， ∴BB'∥ CD， 过点B作BB'∥ CD交圆A于点B'， ③过点D作DE垂直于直线BB'， 垂足为点E(与点A重合)， ④由上图可得：BE/B'E=1.
①以点A为圆心，AB为半径画圆， 作出点B'的运动路径； ②∵CD为平行四边形的对角线， ∴B'E和CD互相平分， 取CD的中点O， ∵B、B'、E、O四点共线， 作射线BO，交圆A于点B'， ③过点D作DE垂直于直线BB'， 垂足为点E， ④易证△COB∼△EOD， 如图所示：设OE=a，则BO=5a， ∴BE=BO+OE=6a，B'E=2OE=2a， ∴BE/B'E=3. 综上所述： (BE/B'E)的值为：1或3.
———— e n d ———— |
|
|
