如图所示，令 ，令 ，做 ， ， ， ， ， ......依此方式可以无穷作图.考虑到上述等式可以无穷写下去，因此正方形对角线与正方形的边长不可公度.所以有  ，则 ，因此 ，.由上面的讨论，可以在二次方程中继续研究一些无理数的连分数展开.是二次方程的正根，所以，因此的连分数展开为.是二次方程的正根，所以，因此黄金分割比的连分数展开为.但利用二次方程得到无理数的连分数展开式的算法，不具有普遍性. 比如是二次方程的正根，因此的展开不是最简连分数展开..我们在与一线教师备课的过程中，注意到教师们对学科本体性知识的把握非常重视，但仍然存在发展空间.
第一，在数学发展历史中，并不是首先发现无理数，而是发现了不可公度量或无理量（参加梁宗巨，《世界数学史简编》，100页和M.克莱茵，《古今数学思想》第一卷，37页）按照多数人的理解，自然数是“数”出来的，在此意义下，数是离散的而非连续的，因为“数”是不可能“数”出连续量的. 按照柏拉图的哲学，数学是先验的，是在人的经验之前已经有的，与经验无关.而图形中的线段长、面积和体积等“量”是客观存在的，与它们是否对应一个数是无关的，有没有表示这些量的数，这些量也都存在于此. 这就产生了一个问题：数与量是不是对应的？或者说数与几何是不是统一的？希帕索斯的发现就是对此问题作出了否定的回答，即数与几何不是统一的，因为有一个量不存在数. 在毕达哥拉斯学派和古希腊的古典数学阶段，数都是整数或整数之比. 毫无疑问，希帕索斯的无理量的发现，不仅否定了“万物皆数”的哲学信条，而且对柏拉图的数学哲学观也是一次冲击（尽管柏拉图要晚于希帕索斯一段时间，但古希腊的古典数学阶段的哲学基础是一致的，只是由柏拉图从哲学的角度做出了根本性阐述）.以现代科学、现代数学观点，古希腊数学是古典数学发展阶段的高峰和典型，因此无理量的发现对古希腊数学的冲击就形成了所谓的第一次数学危机. 正是由于不可公度量的发现，导致数与代数的回避，取而代之的是几何中的量（包括可公度量和不可公度量都在欧几里得《几何原本》中论述的章节）. 正是由于不可公度量的发现，后续数学家特别是欧多克斯（Eudoxus，生于公元前408年左右）致力于解决各种比的研究，极大地推动和导致古希腊数学的几何特征.数学教师可以增强对“数”和“量”的早期发展历史及其理解，将会有助于初中数学课程中对无理数等相关内容的教学的理解.第二，为什么说“数学思想是数学史的真正对象（A.Weil语）”André Weil（1906年5月6日-1998年8月6日）是当代数学大师，布尔巴基学派创始人之一. Weil不仅是一流的数学家，而且对数学史也有独特研究，他以数学家的身份写过关于数论的数学史著作. Weil在《数学史：Why and How》这篇文章中谈到数学史的作用时，认为“数学思想是数学史的真正价值”.Why：第一，把第一流数学工作的“著名例子”摆在面前，激发青年数学家的灵感；第二，历史中著名数学家个人生活与名著活生生出现在青年数学家面前；How： 技术上，读原著比任何二手材料都要紧. 策略上，历史地考察数学思想，思想的继往开来以及来龙去脉. 比如Weil在考察了古希腊数学史后发现，只有G.康托尔定义集合的等势概念之后，无穷才成为数学思想，之前在亚里士多德或者阿基米德时代，对无穷可能只是有兴趣.Weil认为，数学才能、数学经验，加上心智共感的品质，是成为一个合格的数学史家的条件.我们完全可以把Weil的观点移植到数学教学中，开拓数学教育新领域.回过头来我们依据Weil的观点看希帕索斯的“证明”——数学史中的经典给数学教学的启发是什么.首先，学生可以意识到无理数的发展要远远晚于无理量的发现，而且是具体直观地“看到”希帕索斯的图形证明方法.在“看”图形证明中，学生可以体会全等三角形知识概念和性质定理与判定定理的运用.也可以用变换的方法观察希帕索斯的图形证明. 比如“为什么”这样的问题可以帮助学生回忆和整理全等和轴对称的有关知识和概念.第二，学生可以在“著名例子”中，发展希帕索斯那个时代没有的代数表示.从图形中得到的代数式可以帮助学生理解后面的等式只是前面等式的循环，并且不会停止. 尽管在初中没有完全归纳法的数学理论，学生可以在很大程度上认识到正方形的对角线与正方形的边长的这种关系可以永无止境的写下去，即对角线与边长是不可公度的两个量.如果学生还愿意继续探究，可以从字母代数式转向数的代数式，由此学生可以更清晰“看到”证明的过程和结果. ，第二个等式等价于第三个等式也等价于后面的字母代数式实际上都是同一个等式. 也就是对角线和边长不可公度的. 另外，不论初中学生是否知道连分数的概念，实际上由希帕索斯的图形证明的代数化，很容易得到的连分数表示. 即使教师不在课堂教学中拓展连分数的知识，也足以激发青年学子的灵感.由此我们看到，通常大家所谈的数学思想是非常狭隘的和功利的. 试想，一个数学教师仅仅在数学教材中读过笛卡尔的生平历史，在数学教材中了解了《几何原本》的基本背景，在数学教材中知道了韦达定理，很难说他理解了解析几何思想、公理化思想和代数思想. 可以说，在各类数学教材、数学教辅和数学教育书籍中谈到的函数方程思想、数形结合思想等大多是中国特定语境下产生的话语，而不是数学科学的主体. 关于数学思想，我们不能离开这门科学的历史.
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