|
很多学生感到立体几何难学，性质定理、判定定理我都背会了，怎么见了题还是打不开思路？ 定理也用不上？ 如何学好空间图形呢？ 有方法！ 下面我们从简单易懂的基本 的小模型入手： 正方体模型。  我讲解分析一贯详细，保证您能看懂学会。 命题和解析全是作者原创。 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a。 题干就这一句，下分五问。 第一问：异面直线BB1和 A1C的距离是多少？ 解析：异面直线，在空间既不平行也不相交，不同在一个平面内。 如何求异面直线间的距离？ 公垂线容易找的时候，就直接求公垂线的长度； 否则就转化为求线面距离。 如本题，解法一：见下图，转化为求BB1和A1C所在的平面间的距离。 连BD交AC与点Q， 则BQ⊥AC---① ∵正方体， ∴A1A⊥面ABCD， 而BQ在面ABCD内， ∴A1A⊥BQ--② 由①②知，BQ垂直于AC和A1A两相交直线所决定的平面A1ACC1， 而A1C在面A1ACC1内， ∴BQ⊥A1C。 BB1显然垂直BQ， ∴BQ是BB1与平面A1ACC1的距离。  解法二：如上图，找公垂线并求其长。 A1C和AC1交于O， 取BB1的中点为N， 连接ON、OQ， 则OQ和NB平行且相等， ∴四边形ONBQ是矩形， ∴ON⊥BB1---③ BQ⊥A1C在解法一已证， 矩形中BQ∥ON， ∴ON⊥A1C---④ 由③和④知ON就是异面直线BB1和A1C的公垂线。  第二问：异面直线BB1和 A1C所成的角是多少？ 解析：求异面直线所成的角，通常转化为求同一平面内两线夹角。如本题上图， BB1与AA1显然平行，那就转化为AA1和A1C所成的角。这样转化，就很容易求了。 第三问：如上图，N为BB1的中点，点M在A1C上，且MC=3A1M，求MN的长。 解析：设AC的中点为Q， 连BQ，易证 BQ ⊥ 面AA1C1C. 设 A1C 与 AC1 交于点O。 连ON， ∵N为BB1的中点， ∴ ON 平行且等于BQ， ∴ ON⊥面AA1C1C， ∴ △NOM是Rt△， 且∠NOM = 90度。 ON和OM均不难求出， 由勾股定理容易求出MN。 注：前三问共用一个图。 第四问：如下图，过点A点做平面A1BD的垂线，垂足为点H，求直线AH和BB1所成角。  解析：别管题目说得多么复杂，它说一句，咱就用铅笔画一画、图形复杂时就动用脑像，在演算之上，分批、逐个画出平面图形。 这是学习立体几何的精髓之一。 △A1BD是等边三角形。 设 BD的中点为Q， 连A1Q， 则AH垂直于A1Q于H。 这就把线面垂直转化为了线线垂直。 ∵A1A与B1B平行， ∴AH与BB1成的角， 也就等于 AH与AA1成的角∠A1AH. ∠A1AH = ∠A1QA， 如上图，在旁边画出平面图形， A1A和 AQ均已知， 求∠A1QA的正切值，就很容易了。  第五问：求二面角B-A1C-A的大小。我们有两种解法。 解析：就是让求交线为A1C的两个平面(平面A1CB和平面A1CA)所成的二面角的平面角。 在平面A1CA内 过点A作AP⊥A1C于点P， 再在平面A1CB过点P 作A1C的垂线交A1B于S， 则∠SPA即为所求。 如下图，为便于分析， 分别画出所有的平面图形， 在△SPA中， 由余弦定理易求出 cos∠P=1/2。  另解：用射影法。 取 AC的中点Q， 连BQ，则 BQ⊥AC。 平面ABCD⊥平面 A1CA ，这两面的交线为AC，且点B在平面ABCD内， ∴点B在平面A1CA内的射影为点Q， ∴ △A1BC在平面A1CA内的射影为△A1QC。 ∴若设二面角B-A1C-A的大小x， 则有(△A1BC的面积)× cosx = (△A1OC的面积) ∵△A1BC的面积S1= (1/2)× A1B × BC △A1QC的面积S2= (1/2)× A1A × QC ∴cosx=S2:S1=QC:A1B=1/2， ∴ x=π/3。  用摄影法求二面角的平面角，是常见的解题方法之一。 本文，我们从正方体基本模型入手，逐步探讨了立体几何的基本解题思路和技巧，突出了转化和一题多解。 侧重基础巩固和思维拓展，需多加体会，值得收藏、分享。 画出正方体后，不要立即标注顶点！思考为什么？  我常年教初高中各门主要课程，各科我都能给出原创详细探究，请您关注。 看完本文后您如有更好的解法或仍有疑惑，请您添加评论。 |
|
|
