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之前和学生谈到了“少多少，薄厚薄”。有的学生不理解什么是薄与厚，还有的学生不明白如何对知识做简单的总结，看书如何从厚到薄。 因为不善总结，初一不少学生在学到实数这一章节，就因概念多而开始混淆知识。这里以趣味逻辑这本书做演示，谈谈如何整理总结。 该书303页，全书内容总结为4页。
看完一遍后，再花一晚上整理后的结果如下： 趣味逻辑逻辑学：研究人们的思维形式及其规律。包括形式逻辑，数理逻辑，和辩证逻辑。 形式逻辑研究的是： ①思维形式:概念，判断，命题，推理等； ②正确思维的基本规律：同一律，矛盾律，排中律，充足理由律； ③简单的逻辑方法：概括，定义和划分等。 特点：高度抽象，实践性极强。 一、概念 概念构成命题，命题构成推理，推理构成论证。 概念是反映对象的本质属性和特有属性的一种思维形式。 属性指各个对象之间的关系和性质。 属性分为特有属性和非特有属性，本质属性和非本质属性。 本质属性指决定该对象之所以为该对象的那些属性，本质属性必定是该类对象的特有属性，但一类对象的特有属性并不都是该类对象的本质属性。 概念是人们在感性认识基础上，借助于分析，综合，比较，抽象，概括等方法，认识了对象的本质属性与特有属性而形成的。概念和客观对象的关系，是反映与被反映的关系。 概念是通过词语来表达的，但是概念与词语不是一一对应的。不同的词语可以表达同一个概念，而同一个词语也可以表达不同的概念。在日常言语中，有的词语的含义是不确定的，因此混淆同一词语所具有的不同含义，就会带来诡辩。 概念包括内涵与外延。 内涵：所反映对象的特点与本质。 外延：指概念所反映的一个个，一类类对象。 如，人的内涵是指能够制造和使用劳动工具的动物，外延是古往今来的一切人。 未知数X的内涵是实数范围内的任何数，外延包括有理数和无理数。 集合概念：反映集合体的概念，如森林，舰队，它所具有的性质，不一定为每个分子所具有。 非集合概念：反映一类对象，如树木，军舰。 概念关系主要是从外延关系做区分。 在外延上相互排斥，即毫无重合的，称为不相容关系。 在外延上至少有一部分重复的两个概念称为相容关系。 相容关系包括：同一关系，类种关系，交叉关系。 同一关系：指概念在外延上完全重合的两个概念之间的关系。如北京与中华人民共和国首都。 同一关系的两个概念虽然外延一致，但内涵有所不同，不然就不是两个概念了。 类种关系：指一个概念的外延包含另一个概念的全部外延这样的两个概念间的关系。如工人和中国工人。 外延大的称为类概念，外延小的称为种概念。类种概念在外延和内涵上存在反向关系，外延上，类概念大于种概念：内涵上，类概念却小于种概念。 白马非马：马包括了白马，黄马，黑马，但是白马并不包括黄马和黑马，因此白马不是马。错误在于否认种概念包含与类概念之中的错误。 交叉关系：两个概念在外延上有一部分是重合的，如工人和党员。 二、命题（重难点） 感觉到的东西，你不一定能理解，只有理解了的东西，才能更深刻地感受到。 符号和公式是常识的精微化。 命题：是对思维对象作出判断的一种思维形式。它通过对思维形式的性质、关系、状态、存在等所作的断定，表现出人们对现实对象的一定认识（即反映）。命题总有真假。 一个命题并非只表达一个特定的判断，或一个判断就只能由一个特定的命题来表达。 人们可以利用句子的语词歧义，或者句子结构的松散，对语句做不同的解释，使语句具有不同的意义，从而表达不同的判断。因此，不同的语句可以表达同一个判断，同一个语句也可以表达不同的判断。 命题按本身是否包含其他命题，分为简单命题和复合命题两类。 简单命题是本身不再包含其他命题的一种命题。分为两类： ①性质命题（即直言命题），它是断定对象具有或不具有某种性质的命题。它又分为六类： 单称肯定命题，单称否定命题， 全称肯定命题，全称否定命题， 特称肯定命题，特称否定命题， 性质命题必须把握项的周延情况。（关键） 组成：量项+主项+联项+谓项。 ②关系命题：它是断定对象和对象之间关系的命题。 复合命题是本身包含其他命题的命题。它分为三类：①联言命题：是断定事物若干情况同时存在的命题。如：小王不仅很聪明，而且很努力。 逻辑连接词：和。 ②选言命题：是断定事物若干可能情况的命题。如：小王要么聪明，要么很努力。 逻辑连接词：或。 ③假言命题：是断定某一事物情况为另一事物情况条件的命题。如：如果小王很聪明，那么小王会取得好成绩。 假言命题又分为充分条件假言命题和必要条件假言命题。 如果p存在，则q存在，那么p是q的充分条件。 如果p不存在，q就不存在，那么p是q的必要条件。 负命题（非P）：是否定某个命题的命题。它与性质命题的否定命题是不一样的。 如：并非一切水生生物都是用鳃呼吸。 三、演绎推理 只有通过逻辑推理，我们才能发现科学规律的高度简明性、严格性和抽象性。 推理同概念，命题一样，也是一种最基本的思维形式。推理是由一个或几个已知命题出发，而推出一个新命题的思维形式。 人们的知识，大部分是通过推理得到的，因此推理是人们获取新知识的重要手段。 推理由前提和结论两部分组成，一部分是推理所依据的已知前提，即前提，一部分是推出的新命题，即结论。 进行推理，必须遵循各种不同推理形式所固有的逻辑规律和规则。只有具有一定推论关系的命题组合起来，才能构成一个推理。 推理按前提的个数分为直接推理和间接推理。 直接推理：由一个前提推出结论的推理，称为直接推理。它包括:①根据命题间对当关系的推理。有的，所有，个别。 ②根据命题变形而进行的推理。换质法与换位法。 间接推理：由两个或两个以上的命题作为前提推出一个新结论的推理，称为间接推理。它包括演绎推理和归纳推理。 演绎推理是由一般性知识的前提推出某种特殊性知识的结论的推理。在演绎推理中，只要前提为真，前提与结论之间的联系是符合逻辑规则的，其结论必然真实。因此，演绎推理是一中必然性的推理。 演绎推理按照作为其前提的命题种类的不同，可分为六类。 直言推理（即三段论），关系推理，联言推理，选言推理，假言推理，二难推理。（重难点） 四、归纳推理 这部分内容涉及归纳推理，类比推理和假说。 归纳推理是由一些反映个别或特殊知识的前提，而推出一般性知识的结论的推理。它分为完全归纳推理和不完全归纳推理。 完全归纳推理：在前提中对某类事物的全部个体对象都做了考察，然后才在结论中做出有关这一类事物全部的一般结论。局限明显。 不完全归纳即对某类事物的部分对象做考察。它分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。 简单枚举归纳推理：研究所碰到的某些事物的部分对象，都具有某种性质，而没有发现与之相反的情况，以此为根据而进行的不完全归纳推理。结论具有或然性。 科学归纳推理：有计划有选择地对某类事物的部分对象做考察时，不仅没有碰到相反情况，还进一步分析和发现了考察对象之所以具备某种性质的原因和内在必然性，建立在这种对事物进行科学分析基础上的不完全归纳推理称为科学归纳推理。结论有一定的程度的必然性。 科学归纳推理最重要的是要发现事物中现象之间的因果关系，揭示某种现象产生和存在的必然性。 类比推理：根据俩个或两类对象在某些性质上的相同，推出他们在另外性质上也相同的推理。 结论是否可靠，取决于进行类比的两类事物所具有的共同性质与类比推出的结论所反映的性质之间，是否有必然关系。 如果将两个本质不同的事物，按其表面的相似来机械加以比较而提出某些结论，就会犯机械类比的错误。 假说：是人们根据已经掌握的事实材料和科学发现，对某一事物或现象的存在与否及其原因、规律性所做的一种推测性的说明。 假说的形成分两个阶段：假说的提出和验证。提出需以一定的事实材料为依据，验证必须广泛运用各种推理形式，使之在实践中获得验证。一旦得到验证，假说就上升为理论了。 五、逻辑思维的基本规律 形式逻辑所研究的最基本的逻辑规律有：同一律，矛盾律，排中律和充足理由律。 同一律：在思辨与论辩过程中，必须保持概念和命题的确定与统一。否则就会犯变换论点或偷换概念的错误。 矛盾律：在同一思维过程中，对同一对象不能同时给出两个互相矛盾的命题。如矛与盾。 排中律：在思维与论辩过程中，对两个互相矛盾的命题，必须承认其中有一个是真的，不能同时对两者都加以否定。否则就会犯模棱两可的错误。 充足理由律：在论证过程中，作为论证根据的理由必须是真实的，理由与其推出的论断之间应当是有逻辑的推论关系。否则就会犯虚假理由或者预期理由的错误。 六、逻辑论证 整章都为实例分析。 所谓论证即逻辑论证是一种通过断定一些命题的真实性来判明另一种命题真实性的思维过程。论证由论题（真假待确定命题）、论据（自身真实性已经断定的命题）、论证方式（用论据确定论题真假时所采用的推理形式）三部分组成。 如果一个论证是为了判明论题为真，那么该论证称之为证明，如果是为了判明论题为假，那么该论证称为反驳。 论证总是借助于推理来进行。论题、论据、论证方式，分别相当于推理的前提、结论和推理形式。论证必须遵守的基本逻辑原则是充足理由原则，他要求人们在任何一个论证当中，都必须为论题提供充足理由。 论证按其所运用的推理形式不同分为演绎论证和归纳论证，按其论据用以判明论题真假方式的不同而分为直接论证和间接论证。 论证的逻辑规则分三个方面： ①关于论题的规则：一、论题必须明确，二、在同一论证过程中论题必须保持统一。 ②关于论据的规则：一、论据应当是真实的，二、论据的真实性不能依赖论题，否则在同一论证过程中论据的真实性又依赖问题的真实性，那么会使论据论题互为论据，那就会什么也不会得到证明。违反这条规则的常见错误是循环论证或者恶性循环。 ③关于论证方式的规则：论据必须有效地推出论题，即论证过程中必须遵守有关的推理结论。 七、悖论 Paradox。很有趣的一章。比如理发师悖论。GEB，一条永恒的金带。 八、综合 整章都为较复杂的实例分析。 到此结束。以上总结并未包括检查笔误的部分。 有心的同学可以对照这本书，看看我的归纳和书中内容的差异。 你会发现，我的归纳99%都是直接摘抄书里的内容，并且参考了每章的小结。 数学课本上的概念远比这本书来的少，整理的方法完全是一样的。因此，只要你认真去对照完课本后的某个单元小结，再把这个单元的一个个概念、定理抄放在一两张A4纸上，一次简单的总结就成功了。 接着，当你能在一张纸上一眼看到全部的这些概念和定理，即第一次从整体的视角去对比这些知识，原本疏散的它们会有了关联，当能够逐渐理解它们是按何顺序编排在一起，知识体系自然就建立了。 最后欣赏一部分书本的内容：
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