一道初中几何题-求圆内一个角度的大小 在半圆上有两个不同的点A和B, MN为直径, C为圆心, 点P在CN上, 并且有 ∠CAP=∠CBP=10°, 若圆弧MA的圆心角为40°, 那么弧BN的角度是多少? 解:如图所示我们先要证明A , C , P , B 四点共圆。 根据同弧的圆周角相等的逆定理,可以证明点ACPB是共圆的,这是因为: ∠CAP=∠CBP=10° 根据已知∠ACM=40°,利用ACPB内接圆的四边形性质有:内接圆的四边形的一个内角等于其对角的外角。 因此∠ABP=∠ACM=40° 这样∠ABC=∠ABP-∠CBP=40°-10°=30° 由于三角形ABC中有CA=CB,所以 ∠CAB=∠CBA=30° 这样∠BAP=∠CAB-∠CAP=30°-10°=20° 回到内接圆的四边形CPBA,对于针对弧BP的两个圆周角有: ∠PCB=∠BAP=20° 但角PCB就是弧BN的圆心角,因此求得弧BN的圆心角为20°。 此题也可以利用三角形PCB的外角∠BPN=∠CAB=30°和已知的∠CBP=10°求出角∠BCN。 |
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