【数论问题】
1．难度：★★★★
一个房间中有100盏灯，用自然数1，2，…，100编号，每盏灯各有一个开关。开始时，所有的灯都不亮。有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开。问：第100个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着？ 【答案】
对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么，当它的开关被按奇数次时，灯是开着的；当它的开关被按偶数次时，灯是关着的；根据题意可知，当第100个人离开房间后，一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯的编号的因数的个数；要求哪些灯还亮着，就是问哪些灯的编号的因数有奇数个。显然完全平方数有奇数个因数。所以平方数编号的灯是亮着的。而1□100内的完全平方数有1 ²□10 ²，所以当第100个人离开房间后，房间里还亮着的灯的编号是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100。
2．难度：★★★★★
1×3×5×…×2011的末三位数是多少？
【答案】
首先，由于要求末三位数字，可以仅考虑末三位数字，也就是考虑这个数除以1000的余数。
由于1000=8×125，而题中这个数肯定是125的倍数，那么如果能知道这个数除以8的余数，也就可以知道它除以1000的余数了。由于这个数是奇数数列1，3，5，7，9，11，…，2011的乘积，而9与1、11与3……除以8的余数相同，所以如果将这个数列每4个分为一组：(1，3，5，7)，(9，11，13，15)，……那么每组中的4个数的乘积除以8的余数是相同。由于1～2011共有1006个奇数，所以可以分成1006÷4=251组…2个。剩下2009和2011。
第一组中4个数的乘积为1×3×5×7=105，除以8的余数为1，所以每组中4个数的乘积除以8的乘积也都是1，这样251组数的总乘积除以8的余数也是1。2009×2011除以8的余数1×3=3，那么说明这个数除以8的余数是3。
由于该数是125的奇数倍，那么末三位是125的奇数倍，可能为125，375，625，875，它们除以8的余数分别为5、7、1、3，只有875除以8的余数为3，所以原题中乘积的末三位数字为875。
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