【原】初中几何基本模型："脚拉脚"模型图及结论

模型回顾：链接：手拉手旋转全等、手拉手旋转相似

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模型概述：

在两个顶角互补的等腰三角形中，把等腰三角形的两个底角看成脚，左脚和右脚，当一个等腰三角形的左脚和另一个等腰三角形的右脚重合时，顶角按照一正、一逆时针旋转得到的图形，构成脚拉脚模型.

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脚拉脚模型特征：

特点：等腰△ABC、等腰△DEF顶角互补，底角顶点C与E重合，顶角按照一正、一逆时针旋转得到的图形.

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脚拉脚模型图及结论：

一般三角形

条件：如图等腰△ABC、等腰△DEF，∠A+∠D=180°,连接BE,F为BE的中点，连接AF、DF.

结论：AF⊥DF，2∠DAF=∠BAC.

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证明：倍长中线+两次全等

证明思路：

①证明8字形平行全等△AFB≅△GFE（倍长中线）;

②找旋转全等三角形的条件：若两个等腰三角形顶角互补，则底角互余.

③证明旋转形全等，得到等腰三角形;

④利用三线合一证垂直.

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证明∶如图②，

延长AF至点G，使AF=FG.

可证：△AFB≅△GFE .

∴AC=GE.

∵∠ACD=360°-(∠ACB+∠DCE+∠BCE),

∠ACB+∠DCE=90°.

∴∠ACD=360°-90°-∠BCE=270°-∠BCE.

∵∠DEG=∠DEB+∠BEG.

∠DEB=∠DEC+∠BEC,

∴∠DEG=∠DEC+∠BEC+∠BEG.

∵AB∥EG.(知二求一：全等+中点=平行)

∴∠BEG=∠ABE=∠ABC+∠CBE.

∴∠DEG=∠DEC+∠BEC+∠ABC+∠CBE.

∴∠DEG=90°+∠BEC+∠CBE.

∵∠BEC+∠CBE=180°-∠BCE.

∴∠DEG=90°+180°-∠BCE=270°-∠BCE.

如图③，

连接AD、DG.

可知：△DCA≅△DEG.

∴DA=DG.

∵AF=FG.

∴DF⊥AG.

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本题的难点在于∠ACD=∠GED.也可以利用对角互补的四边形相关知识进行证明.

如图，延长AF至G，使得AF=FG.

可证∶△AFB≅△GFE

∵AB//EG

延长EG、AC，交于点H.

∴AB//EG.

∴∠BAC=∠CHG.

∵∠BAC+∠CDE=180°

∴∠CHG+∠CDE=180°

∴∠DEG+∠DCH=180°

∴∠DEG=∠DCA.

∴△ACD≅△GED.

∴AD=DG.

又∵F为AG的中点

∴AF⊥DF.

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特殊三角形

条件：等腰Rt△ABC、等腰Rt△CDE，∠A=∠D=90°,连接BE,F为BE的中点，连接AF、DF.

结论：AF⊥DF,AF=DF.

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      在初中几何学习中，要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。善于静中找动，实现从特殊到一般的转化。动中找静，找到运动过程中不变的数学模型或规律，再从一般到特殊，利用临界情况解决问题。动静结合，其乐无穷！解决几何问题不顺手的原因是由于对基本的模型图及结论掌握不牢固，还有常见的几何解题方法不够熟练。本公众号作者潜心研究整理初中几何学习过程中常见的几何基本模型图及结论，如有错误或更好的思路，请大家不吝赐教。

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编辑 | 张旭