【原】第14讲：《多元函数微分学的几何应用》内容小结、课件与典型例题与练习

1、空间曲面的切平面与法线

• 空间曲面：

曲面上点 处的法向量可以取为

依据平面的点法式方程，曲面 上点 处的切平面方程为

依据直线的点向式方程，法线方程为：

• 空间曲面：

曲面方程可改写为三元方程描述形式

曲面上点 处的法向量可以取为

曲面 上点 处的切平面方程为：

曲面 上点 处的法线方程为

• 空间曲面为参数方程描述

曲面上点 对应的参数为 ，则曲面上点 处的法向量可以取为

类似可以直接写出切平面方程与法线方程.

2、空间曲线的切线与法平面

• 空间曲线为参数式方程

设空间曲线 的参数式方程为

则在点处曲线的切线的方向向量可以取为

从而可得切线方程为：

法平面方程为：

• 空间曲线为一般式方程

设空间曲线 的一般式方程为

是曲线 上的一个点，假定对各变量具有一阶连续偏导数以及雅可比行列式

则方程组在点 的某一邻域内确定了一组具有连续导数的隐函数 及 ．从而在对应邻域内曲线可以由参数方程

描述．曲线切线的方向向量可以取为

两个导数的计算可以直接通过对方程组两端关于 求导

解得. 并且可得计算公式

所以，切向量可以取为

【注1】 在实际计算过程中，一般不使用公式，而是采取直接利用方程组求解，尤其是求具体点的切向量时，将具体坐标点代入方程组后直接求导数更加方便，有效. 类似，也可以对 求导，将 视作函数；对 求导，将 视作函数. 分别取切向量为

【注2】对于由一般式方程描述的曲线切线方程的计算，也可以直接视切线为两个曲面在定点处的切平面的交线来得到，这样切线的方向向量也就可以取为两个曲面在定点处的法向量的向量积，即

得到与上面一致的结论.

多元函数微分学的几何应用是各类包含多元函数微分学内容考试考试频率非常高的一个知识点，有关于《多元函数微分学的几何应用》详细具体讨论和典型题处理思路，可以参见下列视频课堂的分析、讨论与应用系列教学内容：

第一届非数学类预赛(点击直接打开)

第3题：曲面的切平面计算思路与方法

第六届非数学类预赛(点击直接打开)

第2题：空间曲面切平面与法线方程的一般计算思路与方法

▪ 由曲面一般式方程求切平面与法线方程

▪ 由曲面的参数式方程求切平面与法线

▪ 曲面的切平面方程计算实例分析与讨论

第八届非数学类预赛(点击直接打开)

填空题第五题：空间曲面的切平面法向量的一般计算思路