【课程】西南科大网教学院_数学分析38_11.2 多元函数微分法在几何上的应用

11.2  多元函数微分法在几何上的应用

11.2.1 空间曲线的切线与法平面

    设均是可导函数，空间曲线

上一点处的切线方程与法平面方程，可按下面的方法得出：设

, 在处给增量，于是有

记所对应的点为．则割线方程为

或                        

令，得点处的切线方程：

．

 

从而，过点曲线的法平面方程为：

．

    定义11.2.1.  若曲线：上每一点存在切线，则称曲线是光滑曲线．

 

用一般方程组给出的空间曲线上一点处，曲线切线与法平面的求法关键是求切线的方向数．假设上述方程组所确定的曲线

为：

将方程组两端对求导，有

 

 

若，则

从而，切线方程为：

或

法平面方程为：

．

 

 

11.2.2曲面的切平面与法线

设是曲面:上一定点，如果在点对三变量都存在连续的偏导数，并且 ,,

不全为零．则曲面上经过的一切光滑曲线在处的切线都在如下平面上：

这时我们称平面π为曲面Σ在的切平面，且

称为曲线Σ在的法矢量；经过以法矢量为方向矢量的直线称为曲面Σ在的法线．

    事实上，设是曲面Σ上经过点的任一光滑曲线，其中：．即在邻域内，有

从而

令，得

所以

 

从而，曲面Σ上过的切线方程为

在平面π上．

定理11.2.1  如果不全为零，且．则

是曲面在点处的切平面的法矢量，也是点的法线的方向矢量，即点处的切平面方程为

法线方程为

 

  

典型例题：

 

例11.2.1 求光滑曲线在点的切线与法平面方程．

    解 因时，对应曲线上点，所以曲线在的切线的方向数为：

故曲线在的切线方程为

法平面方程为      

即                       ．

 

例11.2.2  求曲线在点(1,0,1)的切线及法平面方程．

    解  曲线可表为它在(1,0,1)处切线的方向数为：

所以(1,0,1)处的切线为    

法平面为           

即                        ．

例11.2.3  求曲线在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程．

    解：对曲线的方程组两端求关于的导数，得

从而有

于是得

故曲线在(1,-2,1)的切线方程为

法平面方程为                   ．

例11.2.4  求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程．

    解  设，于是有

从而，切平面为

法线方程为

．