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原题背景：沪教版八年级第二学期第22找那个第三节“特殊的平行四边形”例题  解法分析：本题的解法是联结AC，通过证明△ACE≌△ADF或证明△ABE≌△ACF，从而证明AE=AF。主要有如下图①和②的两种辅助线的方法。 变式1：将条件一般化(改为∠B=∠EAF) 解法分析：由于去除了∠B=60°这一特殊条件，因此联结AC后不能构成两个共顶点的等边三角形，可以采取图③(利用等高构造全等的直角三角形)以及图④(截长补短法构造等腰三角形)，具体的解法以及通法可以点击以下链接：特殊四边形中的线段相等问题  变式2：将条件和结论互换(已知AE=AF，求证∠EAF=60°) 解法分析：由于条件和结论互换后，联结AC或出现“S.S.A”的情况，无法证明三角形全等。仍旧可以沿用图③和图④辅助线的添线方法进行证明。  变式3：将条件一般化(将点E、F的位置由原来在线段上变为在射线上)  解法分析：由于条件一般化后需要根据题意分类讨论。即点在线段或其延长线上。本题的第1问E在线段的延长线上，需根据题意画出新的图形，再按照例题的方法，即联结AC，反向全等三角形证明即可；本题的第2问涉及函数关系的建立，求△ADF的面积，只需要过点A作高即可，利用30°-60°-90°三角形的性质，即可求高，最终用含x的代数式表示三角形的面积；本题的第3问是存在性问题，由于AB//DF，因此分别以AB和DF为对边作平行四边形，即F在CD延长线上这种情况。  变式4：将条件变化“位置”(将点E、F的位置由原来在BC、CD上变为在直线BC、CD上，改变为∠AEF=60°)  解法分析：由于条件变为∠AEF=60°，此时不满足共顶点等边三角形的特征，因此需要采取新的辅助线的添加方式。本题第1问是点在线段上的情况，由于还是证明AE=AF，而很难构造以AE和AF为边的全等三角形，因此，尝试构造以AE、EF为边的全等三角形，利用“截长补短法”，构造全等三角形；本题的第2问虽然改变了点的位置，但是辅助线的添线方式和证明方式还是一致的。  变式5：将条件特殊化&题设结论互换(点E和点F分别是BC和CD的中点&已知等边三角形，反求∠B度数)  解法分析：本题的第1问是常规的证明全等三角形得相等线段的问题。  本题的第2问已知△BEF为等边三角形，求∠ABC的度数。通过联结AC无法解决问题，因此根据中点性质，联想与中点性质相关的辅助线的添线方法。解法1：利用中位线和等腰梯形性质  解法2：利用中位线、平行四边形性质及勾股定理  解法3：倍长中线证明全等三角形，利用第三边上的中线等于第三边长的一半证明直角 解法4：利用梯形中位线性质定理 通过一道例题可以得到5种变式，变式的特点在于“题设和结论互换”、“点在线段或延长上”、“结论或结论一般化或特殊化”。对于“点在线段或其延长线”上的情况，可以沿用一致的添线方法和证明方法，而另外两种情况则需要具体情况具体分析，根据条件和题设间的联系，合理进行辅助线的添加。 |
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