【一题多解】正方形相关线段比的最值问题

心想事成

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五福都能点！

01

原题呈现

Law

02

思维起点

Law

1、本题中动点是C，随着点C的运动变化，线段DE,AE,CE,BE也随之变化，刻画变量问题最基本的方法就是建立函数模型。

2、本题建立在正方形基础上含三角形旋转基本图形，构建模型，转化线段DE，把比值的两条线段用一个参数去表示，最小值问题形成三角形三边关系模型，当三点成线时，线段AE最大此时比指取最小。

3、本题中，DE和AE的变化，动静互换，把DE看成定线段，点C看成主动点，点A为从动点，由主从联动模型（即瓜豆原理）可知点A的轨迹为圆，从而形成点圆最值得基本模型求解

4、本题中求线段的比值，能否直接转化比例？因为两线段共顶点，则可以构造母子相似模型或旋转相似模型进行比例转化，从而形成点线垂线段最短模型或三角形三边关系模型，当比值最小时恰好可以证明黄金分割点。

5、本题中求线段的比值也可以利用旋转相似模型进行比例转化，利用三角形三边关系模型或点圆最值模型进行求解。

03

解法赏析

Law

视角.1

动点引变量，函数模型来求解

解法1、温州段廉洁

恭喜发财，大吉大利

解法2、台州李祖兵

恭喜发财，大吉大利

视角.2

转化线段或比值，最值几何来妙解

解法3、杭州陈汉

解法4、杭州顾夏平

解法5、台州张文辉

视角.3

动静互换，瓜豆来相伴

解法7、台州张文辉

视角.4

四边形线段关系，托勒密定理来帮忙

解法8、温州段廉洁

解法9、（与上类似）

台州张文辉

04

变式延伸：

Law

变式1

变式2

05

解后反思

Law

1、上述解法涵盖了变量法，几何最值基本模型，从知识溯源来看，最值问题函数模型是通性通法，从方法溯源来看构造相似变换是转化比例的基本方法。

2、一个普通的最值问题能够延伸出这么多的方法，真是没有普通的题目，只有束缚的思维。

3、平时的解题教学中，解决问题和问题解决应该是相互交织，相互联系和相互作用，单纯的解决问题还远远不够。