如何通俗的理解曲率

同学们大家好，今天我们来学习曲率。

1 自然语言

通俗地讲，曲率被定义为曲线的弯曲程度。比如下面这几条曲线，可以看到它们的弯曲程度是不一样的。最上面的最平，曲率最小，最下面的最弯，曲率最大。

上面用的是自然语言，那么用数学语言定义，曲率又该如何定义呢？假设用  代表曲率，也就是

2 圆的曲率

在定义一般曲线的曲率之前，我们首先定义的是圆的曲率。圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小。

这是符合观察的,可以看到，随着圆越大，曲线越来越平，曲率越小，圆越小，曲线越弯，曲率越大

也就是说，对于圆而言，曲率与半径成反比,此时

根据这个公式,我们可以很容易的计算出,半径为1的圆，曲率为1/1；半径为2的圆，曲率为1/2；半径为3的圆，曲率为1/3。

现在，我们手上有了圆的曲率定义公式,下面，我们要根据它，定义出一般曲线的曲率。

3 一般曲线的曲率

3.1 密切圆

可以看到，对于一般曲线而言，各个位置上的弯曲程度是不一样的。有些位置比较弯，有些位置比较平。

那么，我们要计算某一处的曲率，就在它的左右各取一个点。并用这三点确定一个圆。

然后将左右两个点不断向中间靠拢，最终得到的圆，称为密切圆。密切圆就是对这个点附近的曲线的最佳圆近似。

可以观察到，在曲线较为平坦的地方，密切圆半径较大,较为弯曲的地方，密切圆半径较小。

这个事实告诉我们，可以用密切圆的曲率来定义曲线的曲率

现在只要计算出密切圆的半径，就能计算出曲线的曲率。下面开始计算

3.2 计算

首先假设中间的点为  ，左右两个点分别为  和  ,由它们确定的圆的半径用  来表示

这个  可以由外接圆半径公式得到

其中  为三个点构成的三角形的三条边的边长,  为这个三角形的面积

下面将三条边分别用向量  来表示

那么三条边的边长，就是这三个向量取模长。

根据行列式的几何意义可知，由  与向量  所构成的平行四边形的有向面积，可以用行列式  表示

那么取绝对值后，得到的是平行四边形的面积，三角形的面积就是这个平行四边形面积的一半。

因此

设曲线函数为  ，那么三个点的坐标分别为

那么三个向量分别为