1、条件极值相关的概念在实际中会遇到求一个函数 在满足约束条件 下的极值问题，我们称之为条件极值问题．通常，称函数 为目标函数，方程 为约束条件，变量 为决策变量．相应地，把求一个函数的，只有定义域限制的（不带条件的）极值问题为无条件极值问题． 2、条件极值的求解思路条件的极值问题的求解方法为无条件化的方法： (1) 一种是通过约束条件降元转换为无条件极值，也称为代入法. 如求二元函数 在满足约束条件 下的极值问题，如果由 可以解出 ，则可以将条件极值问题求解转换为一元函数的无条件极值问题，即求 的极值。代入法一般可以直接判定是否可以取到极值。 (2) 一种方法是增元的方法，即拉格朗日乘子法：如求二元函数 在满足约束条件 下的极值问题，可以通过令拉格朗日辅助函数 转换为求 的无条件极值问题，其中参数λ称为拉格朗日乘子．并这种将求条件极值问题转化为求拉格朗日函数的无条件极值问题的方法称为拉格朗日乘子法． 注意：使用拉格朗日乘数法求解 得到的解 中 是 在条件 下的可能的极值点. 拉格朗日乘子法一般用来求解最值问题，所以只需要求可能的极值点，而不需要判定函数是否真的取到极值！然后根据实际问题最值的存在性，比较函数值即可得到需要的结果. (3) 二元函数的条件极值的图形化方法: 即借助二元函数的等值线，考察当变量 在条件方程对应的曲线上移动时，等值线对应的函数值的变化来获取极值点位置和极值，如下图。  其依据是在极值点等值线与条件方程对应的曲线相切；从而有相同的切线与法线。依据两法向量平行，对应坐标成比例，并且切点坐标满足条件方程，可以得到极值点位置与极值；并且推导得到拉格朗日乘子法。 (4) 多自变量多条件的拉格朗日乘子法 对于求函数 在条件 下的极值问题，作拉格朗日函数． 将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为梯度为 ，即 对于求函数 在条件 与 下的极值问题，作拉格朗日函数 将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为 求解该方程得到的解 中的 是函数 在条件 与 下的可能的极值点. 【注】 约束条件的个数最多只能是目标函数包含变量的个数减1. 3、闭区域上可微多元函数最值(最优化问题)的求解步骤第一步：确定目标函数，定义域及约束条件； 第二步：找出所有可能的驻点，驻点包括由区域内部利用无条件极值得到的驻点和边界上由条件极值得到的驻点. 第三步：比较所有驻点的函数值，同时还需要考虑边界曲线的端点或者说图形尖点位置的函数值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值；另外也根据问题的实际意义来确定最值. 【注1】 对于开区域最值的判定还需要比较边界的极限值！对于无穷区域，则需要考虑变量趋于无穷大时的函数变化性态！比如求函数 只有最大值，而取不到最小值. 【注2】 对于隐函数确定的函数求极值或最值，则考虑隐函数求导法来确定驻点和判定极值的情况. 参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“多元函数微分法内容总结、课件与练习”查看该章节内容列表！ 相关推荐 ● 高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！ ● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项 ● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项 |
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