我们继续聊级数,这次我们的主角是: 我们上次讲到了发散和收敛,那这个级数究竟是发散的还是收敛的呢? 你一看,我的老天,这也太难了吧,我根本看不懂。 莫慌,我们还是用老办法,一步一步来分析: 我们化简一下,可以得到: 我们展开上面那个通式后,发现依然毫无头绪,在这个异常复杂的数学表达式里,它究竟蕴含着怎样的秘密呢? 于是,我们需要理所应当地引入一些数学工具了:首先,为了简化上面那个级数的研究内容,我们定义出一些新的东西来方便描述它: An的意思是“数列”,它把这个复杂的东西包括进去了 我们姑且把这个称为交错因子 这个交错因子有什么用呢?我给大家举个例子: 我们引入收敛域和收敛半径的概念:什么是收敛域呢?举个例子,你就明白了: 我们代-1到1之间的所有实数用可以使得上式成立,可是你假如超过了上面这个范围就不成立了: 我们就把(-1,1)称为上面这个级数的收敛域 上面的级数只有在这个范围内才是收敛的 那收敛半径R又是什么呢? 关于收敛半径R,大家先简单理解为收敛域的左右端点值(正的那个1)。 怎么求这个收敛半径呢,今天我只请出大数学家达朗贝尔来描述这个问题。
达朗贝尔说道,我有一个定理,能帮你求出收敛半径: 达朗贝尔定理 于是,我们用上这个公式,进行计算: 收敛半径R: 我们现在得到了收敛域(-1/3,1/3), 你说道——这就是收敛域! 然而,莱布尼兹又出来说话了:我们必须考虑临界的端点位置,数学是严谨的,你这个收敛域很可能缺少了东西。 既然如此,我们不得不带进去看一下实际情况。当x=-1/3时: 这个级数是发散的,所以不能取端点。 而 我们莱布尼兹交错级数判别法: 则在这一点是收敛的。 所以,我们得到了真正的收敛域: |
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