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本文是关于2D射影几何及其变换最后一篇文章，后续会针对这一部分内容进行总结，以便大家理解；第二部分基于2D射影几何及其变换的内容解释3D情况。 2.8 关于二次曲线更多性质 现在，我们介绍一种重要的几何关系，涉及点、直线、二次曲线，即polarity，这种关系的详细应用会在后续文章中介绍。点x和二次曲线C定义直线l，l=Cx，直线l是点x关于二次曲线C的极线(polar)，点x是直线l关于二次曲线C的极点(pole)。- l=Cx是点x关于二次曲线C的极线，该极线与二次曲线相交于两点，存在
图2.19.极点-极线关系.直线l=Cx是点x关于二次曲线C的极线，点x=C-1l是直线l关于C的极点。x的极线与二次曲线相交点是经过x的直线的切点。如果y在直线l上，yTl=yTCx=0。点x和y都满足yTCx=0，所以是共轭点。
证明.假设点y在二次曲线C上，正切于点y的直线是Cy，如果xTCy=0，则这条直线包含x。运用C的对称性质，则xTCy=(Cx)Ty=0，说明点y在直线Cx上。因此极线Cx与二次曲线相交于点y，正切直线包含点x且在y点正切。随着点x接近二次曲线，两条正切线逐渐接近共线，它们与二次曲线的交点也会越来越近。在x逐渐接近二次曲线的极限过程中，极线与二次曲线的交叉点变成x点，所以我们有， - 如果点x在二次曲线C上，那么极线是在点x正切C的直线(参考结论2.7)。
例2.28.半径为r，圆心在x轴上x=a的圆，其方程是(x-a)²+y²=r²，可以用二次曲线矩阵表示为，原点(0,0)的极线是，l=C(0,0,1)T=(-a,0,a²-r²)T。该直线是垂直于x轴的直线，即x=(a²-r²)/a。如果r=a，原点(0,0)在圆上，极线就是y轴并正切于圆。 不难发现，二次曲线产生了一种二维投影空间点和直线的映射关系。这种映射是一种投影结构，因为它涉及相交和正切，这两种性质在投影变换下都会被保留。点和直线间的投影映射称为“correlation”。 定义2.29.correlaton是一种二维投影空间的点到直线的可逆映射，可以表示为3×3的非奇异矩阵，即l=Ax。correlation提供一种系统性的方法，研究点和直线间的对偶关系。它不需要使用对称矩阵来表示，但在这里仅考虑对称correlation，因为它与二次曲线有关联。 - 共轭点.如果点y在直线l=Cx上，那么yTl=yTCx=0。任意两点x和y满足yTCx=0，则他们是关于二次曲线C共轭的。
这是因为二次曲线矩阵是对称的--如果xTCy=0，那么点x在y的极线上，如果yTCx=0，那么点y在x的极线上。因为xTCy=yTCx，如果一个是零，另一个也会是0。对于直线，因对偶也存在相同共轭关系：如果lTC*m=0，那么l和m共轭。 二次曲线的投影范式.C是对称矩阵，所以它有实特征值，并且可分解为C=UTDU，U是正交矩阵，D是对角矩阵。应用U表示的射影变换，那么C变换为另一个二次曲线C'=U-TCU-1=U-TUTDUU-1=D。这表明，在射影变换下，任何二次曲线都等价于一个对角矩阵。令D=diag(ε1d1,ε2d2,ε3d3)，这里εi=±1或0，di>0。因此，D可以写成形式，
这里si2=di。注意，diag(s1,s2,s3)T=diag(s1,s2,s3)。现在，用变换矩阵diag(s1,s2,s3)在变换一次，D变换为具有矩阵diag(ε1,ε2,ε3)的二次曲线，这里εi=±1或0。通过置换矩阵进一步变换，以确保在εi=-1在εi=1之后。最后，如有必要乘以-1，确保+1和-1数量至少一样多。不同类型二次曲线如表格2.2所示。二次曲线的仿射类型.众所周知，欧式几何中，非退化二次曲线类型可以分为椭圆、双曲线、抛物线。如射影几何中所示，这三种类型投影等价于圆。但是，在仿射几何中，欧式分类仍然有效，因为这只取决于无穷远线与二次曲线的关系。这三种二次曲线的关系如图2.20，根据无穷远直线和圆点的例子，点和直线在射影变换下固定不变。这节会更全面分析这个观点。原平面和目标平面是相同平面，所以映射变换从点x到x'在相同坐标系。核心思想在于，特征向量对应于变换的固定点，因为一个特征向量e对应一个特征值λ，He=λe，e和λe表示相同点。特征值和特征向量在计算机视觉中有物理或几何意义。3×3矩阵有三个特征值，如果特征值不同，则平面投影变换最多三个固定点。在这个例子中，因为特征方程是立方体，一个或三个特征值是实数。类似方法给出固定直线，按照2.6直线变换是l'=H-Tl，对应于HT的特征向量。
固定点和直线间的关系如图2.21所示。注：固定直线视作一个集合，而不是定点(fixed pointwise)，也就是说，直线上的点映射到直线的另一个点，但一般原始点和目标点是不同的。这里并不存在新原理：平面的射影变换在直线上产生1D射影变换，1D射影变换可表示为2×2的齐次矩阵，这个1D射影由两个固定点对应于2×2矩阵的两个特征向量。这些固定点就是2D射影变换的固定点。后续分类涉及特征值重复的情况。假设已确定两个特征值λ2和λ3，并且有两个不同的特征向量e2和e3，对应的特征值λ2=λ3。那么，包含特征向量e2和e3的直线是固定点(fixed pointwise)，也就是说固定点直线。假设x=αe2+βe3，那么Hx=λ2αe2+λ2βe3=λ2x，也就是说，一个在经过两个退化特征向量的直线上的点，映射到其本身(仅仅比例不同)。另一种可能是，λ2=λ3，但仅有一个特征向量与其对应。在这种情况下，特征向量在代数维度上等于2，但几何维度等于1，那么会少一个固定点，仅有两个。特征值重复的不同情况会在后续文章中继续讨论。现在，我们思考下2.4中射影变换子集层次下的固定点和直线。仿射变换、和其他更特别的变换形式，由两个特征向量，即两个理想点(x3=0)，它们对应于左上角2×2矩阵的特征向量，第三个特征向量是有限点。欧式矩阵.两个理想固定点是一对共轭复数，I和J，对应于特征向量{eiθ和e-iθ}，θ是旋转角度。第三个特征向量，对应于单位特征值，称为极点。欧式变换等同于绕极点旋转θ的纯旋转运动，不存在平移。另一个典型例子是纯平移运动(也就是旋转角度θ=0)。此时，特征值是三重退化量。无穷远直线是定点，许多固定直线经过点(tx,ty,0)T，这个点对应于平移方向。因此平行于t的直线是固定的。相似矩阵.两个理想固定点是圆点，特征值是{1,seiθ和se-iθ}。相似矩阵的变换是旋转和对有限固定点各方先均匀缩放s。注：圆点的特征值包含了旋转角度。仿射矩阵.两个理想固定点是实数或共轭复数，但固定直线无穷远直线(0,0,1)T经过这些点。
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