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1. 极点和极线 定义（极点pole和极线polar）：点x 与二次曲线C 共同决定一条直线 l = Cx 叫做 x 对 C 的极线，点 x 叫做极线 l 对C 的极点。 定理（极点与极线的关系, pole-polar relationship）：点x 对 C 的极线 l 与 C 相交于两点，通过这两点的 C 的两条切线相交于点x. 如果点 x 位于C 上，则它的极线就是 C 在点 x 上的切线。 如果点 x 位于 C 内部，会怎么样？ 定义（相关，correlation）：由极点和极线的定义可知，二次曲线引入了在空间P2 上从点 x 到直线 l 之间的一个映射，这个映射关系可以用1个3x3非奇异矩阵A 来表示，即 l = Ax. 这叫做相关，它代表在空间 P2 上从一个点到一条直线的一个可逆的映射。 映射矩阵 A 不一定是对称的，但是二次曲线C 一定是对称的。并且由于 C 的对称性，使得这一映射具有共轭的特点。 定义（共轭点, conjugate points）：如果极点x 对二次曲线 C 的极线为 l = Cx，且点 y 位于极线 l 上，则有 yT l = yT Cx = 0。任意两个满足条件yT Cx = 0的点 x 和y 称为对 C 共轭。 定理（共轭定理）：如果点x 位于点 y 的极线上，那么 y 也位于 x 的极线上。 由二次曲线 C 的对称性，很容易得到上述结论。 由对偶定理，可以得到具有共轭关系的两条直线。 定义（共轭直线，conjugate lines）：两条直线 l 和m 共轭，如果 lT C*m = 0. 2. 固定点和固定线 前面已经讲到，无穷线在投影变换下是固定的，而虚圆点在相似性变换下是固定的。本节进一步讨论这个问题。 对3x3变换矩阵 H 进行特征值分解，得到 He = λe 其中 e 是特征向量，λ 是特征值。如果把特征向量 e 看做 P2 空间中的一个齐次点，则显然 e 和λe 代表同一个点。这说明点 e 在变换 H 中是个固定点。 3x3 矩阵 H 最多有3个特征值，则相应的有3个固定点。 对于直线的变换l' = H-Tl, 把它写成 l = HT l', 则可以看到，HT 的特征向量对应于3条固定线。 欧式矩阵：进行特征值分解，得到 可见，欧式矩阵的两个特征值{eiθ,e-iθ}代表旋转角度，它们对应的特征向量就是两个虚圆点 I 和 J. 可见虚圆点在欧式变换下是固定的。 第三个特征向量 (a,b,c)T，叫做极点 (pole) ，对应于特征值1。 相似矩阵：进行特征值分解，得到 可见，虚圆点在相似变换下仍然是固定的。特征值代表了旋转角度和缩放比例。 仿射矩阵：对仿射矩阵的转置矩阵 HAT 进行特征值分解，得到 可见，无穷线 l∞ = (0, 0, 1)T在仿射变换下是固定的。 |
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