从“12345模型”的视角看2021年广东省中考第23题

这道题用常规方法，也能很好地解决，但若用“12345模型”来做，将变得特别简单。我们先来看一下用此模型如何做这道题。还是先说一下题目：

【如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点.连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点 G，求CG的长. (2021年广东省中考题)】

解析：

如上右图，

∵Tanα=1/2，α+β=45°，

∴tan2β=3/4，

即CH/BC=3/4，

∴CH/AB=3/4，

由三角形相似得CG/AG=3/4，

∴CG =3/7AC，即可得到结果.

我们这里之所以选择说一下“12345模型”，是因为一位网友在回复时提到了可以用这一模型来解决，非常感谢这位网友。不过在实际教学中，很多省份在初中阶段应该是不引入此模型的，但很多中考题如果用此模型会变得特别简单，正所谓站得高，看得远，即便是我们在做解答题时怕因格式问题或老师看不懂而扣分，那我们也可以用此法来验证结果的准确性，提升准确率。希望大家合理选择，实际上由于学生的基础问题，我在教学中也没有过多的引入。

下面我们就简单说一下“12345模型”并附两个中考题.

模型及其验证：

【模型】

若Tanα=1/2，tanβ=1/3，则α+β=45°.

注：由于这里出现了数字1,2,3,4,5，为了便于记忆，通常称为“12345模型”.

模型还有两种变式，即

若Tanα=1/2，α+β=45°，则tanβ=1/3.

若tanβ=1/3，α+β=45°，则Tanα=1/2.

即上面三个结论，只要有两个成立，另外一个也成立。

【验证】

可以做如下验证：

在边长为单位1的正方形网格中，求α+β的度数.

我们不难发现，Tanα=1/2，tanβ=1/3.两个角都没办法直接求出来，我们可以考虑构造等角，把两个角转换到一起，如下图.

则△ABC为等腰直接三角形，所以有α+β=∠BAC=45°.

同时，“12345模型”还有很多延展，还能得到很多结论。广东省的这道中考题用的即是其中一个。下面我们就说一下这个结论.

在一个边长为勾股数345的直角三角形中，做如图的辅助线.

我们容易看出，Tanα=1/2，tanβ=1/3，α+β=45°，这其实也是对模型的又一种验证方法.我们还可以得到：Tan2α=4/3，tan2β=3/4.（即高中的倍角公式）

广东省中考题正可运用此结论，由Tanα=1/2，α+β=45°，得到tan2β=3/4.再往下做就简单了。

接下来我们再来看两道中考题，体会一下模型的实用性：

【题目1】

如图，正方形ABCD的边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点G、F，连接GF交DE于H点，且∠GHD=45°，求线段FG=_________.

解析：

如上左图，易于发现tan∠ADE=1/3，∠GHD=45°，可考虑平移GF，使α，β，45°集中于直角顶点D.

如上右图，易于发现tanβ=1/3，α+β=45°，∴Tanα=1/2，则CF=3，由勾股定理求GF.

【题目2】

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点 C，则直线BC的函数表达式是_________.

解析：

如上左图，易于发现tan∠ABO=1/2，∠ABC=45°，所以∠BCO即为β.

如上右图，易于发现Tanα=1/2，α+β=45°，∴tanβ=1/3，则OC=3，即点C坐标（3,0），进而可求得解析式.

不当之处，还望指正。