名师讲座 | 再现“矩形大法”运用之美

讲座主持:纪朋成；讲座嘉宾:于新华；讲座主讲:黄萍

摘要：在平时的各类试题中经常会出现两角和差关系类考题，鉴于确定性思想，用因果关系分析法，在初中知识的框架之下，如何巧借模型之力，再现模型之美，让学生在生成中感悟数学思想方法，在较短的时间内成功解决此类难题，由此引发了“矩形大法”一说。

一、矩形大法”的提出背景

我们如何刻画一个角大小呢？角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数刻画法；另一种是常被我们忽略的边长刻画法（即三角函数值）.如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来。但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。虽然，学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式，但现在讨论的背景是初中数学教学，因此我们要回避用高中数学知识。

不知大家第一次看到这道题的第一反应是什么？能否在短时间中用传统方法解决？看到两角和差关系这样的条件想到什么？本题它有比较巧妙的求法，但要发现，还是需要一定的时间的。这里涉及到两角和差关系，需要说明的是，命题人员绝非希望你采用高中“两角和与差的三角公式”去解决问题，这是由于：

⑴他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的，而且只要方法得当，的确能够解决问题。

⑵即使意识到了，他们认为因为初中不具备这样的知识，有这样的想法却因为不具备这样的能力，从而无法解决原问题。

⑶最关键的原因是，由于命题人员想出了构思极为巧妙的解法。

于是，这样的考题在不知不觉中出现了，而且通常情况下，这样的考题必定处于试卷中的难题位置。那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那就可以不花多少时间直接攻破此题了呢！

此题学生也许在短时间里容易找到点P的位置却不易求出点P坐标。那么这题究竟如何成功破解呢？

类似这样的问题不管小题，大题，其实在中考中是比较多的。现在的问题是，有些题目构思非常巧妙，但采用“因果确定法”思考，面临的困难就是：已知两个角的大小（边长刻画），最后只有在解决了这两个角的和或差的问题后，才能真正解决原问题。那么有没有既遵从原始的“因果确定法”的思考方法，又付出代价不大，同时还易于操作的解法呢？也即如何做到“想有背景，解不超纲”呢？

这就让人开始思考从比值刻画一个角的大小，就得出现一个包含这个锐角的直角三角形。那么两个角呢？就必须出现两个直角三角形，最后还要有两个角的和或差的大小的比值刻画，即出现了第三个角，又必须出现一个含有这个和角或差角的直角三角形，这样就需要三个直角三角形。那么怎样才能沟通彼此联系呢？在平时的基本构图模型中有吗？于是想到了“一线三直角”这样的基本图形。在这些想法的基础上，朦朦胧胧地继续探求构造，最后终于产生了那个精妙绝伦的矩形——一下子全部满足了要求！

为了在网络上交流，既有一定的趣味性，又揭示方法的本质，将其取名为“矩形大法”。教师在课堂上有时为了表述的方便或激发学生的学习兴趣和积极性，也可以一起命些名称，不必太过计较说法。

二、 “矩形大法”的基本构造

下面我们以75°，15°这两个特殊角为例聊聊矩形的构造。

我们可以通过30°与15°的倍半角关系求出tan15°的值，通过互余关系求出tan75°的值。那如果利用30°，45°这两角的和差关系又该怎样构图表示出75°与15°的正切值呢？

1．75°即45°与30°和的构造

我们知道两角和与差，在图形中通常体现出三条线，为构图方便，第一条线通常选择水平或铅垂（一号线），二号线为两角的公共边，第二个角的另一边为三号线.（如图1-1,图1-2）

根据上面的阐述，究竟该如何用比值来刻画45°，30°，以及75°这三个角呢？

首先得先把45°角（∠1）和30°角（∠2）都要构在一个直角三角形中（如图1-3），其次构一线三直角（如图1-4），为了有75°想到平行有角相等，所以构矩形（如图1-5）。

2．15°即45°与30°差的构造

两角和是在一个角的基础上向外“扩张”，现在是两角差，该如何构造呢？

（1）作一个45°角(如图2-1）

（2）在二号线上取点A 向角的内部作垂线，构造∠AOB= 30°（也即以OA 边为公共边向内构造一个含30°角的直角三角形ABO）（如图2-2）

（3）过点A，B,O 三点构矩形OCDE ，有此得到∠EOB 就为15°角（如图2-3）

解法2：根据等边三角形的特殊性，作AB 边上的高，过垂足构一线三直角框矩形也是比较方便的。

下面体验一下“矩形大法”在中考试题中的神奇魅力。

5．先来看一道2013 淄博中考题的第三问

6．再来个中考小题

7．现在我们再回过头来看南通的这道中考题：

现在看到 “∠DAO＋∠DPO＝∠α，”这个条件，有想法了吗？

试想我们找到了P 点，由图9-2 可知，这里点D（1,4），点A(-1,0)都是确定的，所以tan∠DAO=2 显然是确定的，α 的大小显然也是确定的，那么如果求出∠DPO 的大小，那么这道题目立刻就“土崩瓦解”了。在形外可构如图9-3 的矩形。

利用平行关系可知tan∠GDO=tan∠DOX=tanα=4，在∠GDO 内部过点O 作垂线构造tan∠EDO=tan∠DAO=2 的直角三角形，所以两阴影的三角形的相似比为1:2，则可表示出矩形FDGH 边上各部分线段长，可得P 点坐标为（-17,0）再根据对称性得另一点坐标（19,0）。

除了这种矩形构造，我们还可以构造更具一般性的矩形，如图9-5：

试想我们找到了点P，则tan∠HDA=tan（∠DAO+∠DPO）= tan∠α＝4，由此我们可以先构造一个正切值为4 的角，再构矩形（如图9-6）

这里由于题中D点的坐标特征，利用tan∠DOF=4，命题人存在构思巧妙的方法，倘若我们没有发现这一点呢？譬如把“tan∠α＝4”改成3，也许原先的巧妙构思就不再可以了，而“矩形大法”在此可再显其神威，无论怎么变，只要两角的值是确定的，都可以“强行破门”，“直接碾压”。其实只要在上图9-6 中改动几个数据即可：

图中tan∠HDA=3，所以两相似三角形的相似比为3:1，依次标出矩形边上各线段的长就OK 了！P(-27,0)或（29,0）

8、再来破解2016 年盐城的中考题：

由图10-2，易得PG=QR,PA=PR,所以PA+PC+PG=PR+PC+QR，所以当Q、R、P、C 四点共线时取得最小值。

在原图中可构图10-5 所示的矩形：

诸如此类的中考题其实比较多，如2016 年广西贵港，2016 年江苏徐州等压轴题，都可以用“矩形大法”处理。教师如能恰当地处理好模型教学，引导学生用“因果确定法”思考问题，那么学生就能较好地掌握一类问题了。而这种学习经验的获得还可以迁移到其他模型的归纳总结中，学生在潜移默化中学着把问题归类。