“矩形大法”运用之美

我们如何刻画一个角大小呢？角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来.但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画.虽然，学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式，但现在讨论的背景是初中数学教学，因此我们要回避用高中数学知识。

引题

不知大家第一次看到这道题的第一反应是什么？能否在短时间中用传统方法解决？看 到两角和差关系这样的条件想到什么？本题它有比较巧妙的求法，但要发现，还是需要一定 的时间的.这里涉及到两角和差关系，需要说明的是，命题人员绝非希望你采用高中“两角 和与差的三角公式”去解决问题，这是由于：

⑴他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的，而且只要方法得当，的确能够解 决问题．

⑵即使意识到了，他们认为因为初中不具备这样的知识，有这样的想法却因为不具备这 样的能力，从而无法解决原问题．

⑶最关键的原因是，由于命题人员想出了构思极为巧妙的解法． 于是，这样的考题在不知不觉中出现了，而且通常情况下，这样的考题必定处于试卷中

的难题位置．那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那就可以不花多少时间直 接攻破此题了呢！

二、 “矩形大法”的基本构造

下面我们以 75°，15°这两个特殊角为例聊聊矩形的构造.

我们可以通过 30°与 15°的倍半角关系求出 tan15°的值，通过互余关系求出 tan75

°的值.那如果利用 30°，45°这两角的和差关系又该怎样构图表示出 75°与 15°的正切 值呢？

1．75°即 45°与 30°和的构造

我们知道两角和与差，在图形中通常体现出三条线，为构图方便，第一条线通常选择水 平或铅垂（一号线），二号线为两角的公共边，第二个角的另一边为三号线.（如图 1-1,图 1-2）

1-1

根据上面的阐述，究竟该如何用比值来刻画 45°，30°，以及 75°这三个角呢？ 首先得先把 45°角（∠1）和 30°角（∠2）都要构在一个直角三角形中（如图 1-3），

其次构一线三直角（如图 1-4），为了有 75°想到平行有角相等，所以构矩形（如图 1-5）.

1-5

具体操作的时候可以按如下步骤：

1-7

1-8

2．15°即 45°与 30°差的构造

两角和是在一个角的基础上向外“扩张”，现在是两角差，该如何构造呢？

（1）作一个 45°角(如图 2-1）

（2）在二号线上取点 A 向角的内部作垂线，构造∠AOB= 30°（也即以 OA 边为公共边 向内构造一个含 30°角的直角三角形 ABO）（如图 2-2）

（3）过点 A，B,O 三点构矩形 OCDE ，有此得到∠EOB 就为 15°角（如图 2-3）

2-4

3

3-2

用“矩形大法”处理.教师如能恰当地处理好模型教学，引导学生用“因果确定法”思考 问题，那么学生就能较好地掌握一类问题了.而这种学习经验的获得还可以迁移到其他模型 的归纳总结中，学生在潜移默化中学着把问题归类