线性代数：行列式的本质是什么？

今天，笔者给大家讲讲行列式的意义，以及如何计算各种类型的行列式，这个话题篇幅较长，需要分成3次来聊，话不多说，让我们开门见山。

首先教大家区分矩阵和行列式：我们从二阶讲起。

矩阵长这个样子，大家应该已经熟悉了，它是由中括号或者圆括号括起来的。我们之前说过它的意义了，大家可以翻看笔者之前那篇讲矩阵乘法的文章，这里就不再多说了。

行列式长这样子，它就像是向量求模长：

这个怎么求呢？我想许多人都知道：

我们更一般点：

这个行列式的值有什么直观的意义呢？你先把它理解为一个“数”。

那么三阶的怎么求呢：

至于为什么，我们在下篇文章讲（因为要引出余子式和代数余子式得概念），我们这次主要讲行列式的意义。

我们这里强调一下，行列式只能是n阶方阵,也就是只有这种样子的方阵才能求值：

假如不是n行n列，比如下面这个“行列式”，它不是方阵，没有定义，不能运算！

说完了这个，我们来正式讲一下行列式的意义：

刚才说了，行列式的值是一个：”数“，这个数其实代表了线性变换后的面积比率。

不理解没有关系，我们假设线性变换前有一个经典的垂直坐标系，它的线性变换矩阵可以表示为：

我们在这个坐标系中随便取个小正方形的面积，或者长方形，或者圆形，或者任意不规则图形的面积，随便你来取，多大尺寸都可以。

为了简便，我就在坐标原点取个2乘2的正方形吧：

我们把这个2乘2正方形放进斜坐标中，它成了平行四边形，面积扩大了2倍。

我们发现

什么意思呢？

单2的意义是说：原来正常的坐标系变换成斜坐标系后，所有图形的面积比原来整体扩大了两倍。

负号的意义是说：原来的y轴和x轴是y在前，x在后，而新的轴成了x’在前y'在后，相当于把原来直坐标系的整个坐标平面给反转了：

类比三维空间，你应该明白了。三维行列式值的意义就是把垂直的三维坐标系物体的体积放入斜三维坐标系中，然后拉长或缩短了原立体图像体积的k倍：

(未完待续）