电机控制中的电感问题

1 dq电感的计算

电感是衡量线圈电磁感应能力的物理量。我们用ψ表示磁链，i表示电流，则电感L可以表示为

   

(1)

上面是电感的定义式，用来定量分析的时候并不是很直观。所以，下面给出了电感的计算公式，表示了电感和磁路中各个物理量的关系。电感的计算公式为

(2)

式中，l为气隙长度，N为匝数，S为绕组的截面积，μ为磁导率。

在普通电感中，以上几个参数均为常数，因此电感是个恒定值（在不饱和的情况下）。在电机中，这种情况会有所不同。

图1 内置式永磁同步电机磁路示意图

图1为内置式永磁同步电机的磁路示意图。由图可知d轴磁路由气隙、永磁体、铁芯组成。而q轴磁路由气隙和铁芯组成。在铁芯没有饱和的情况下，我们可以将铁芯的磁导率看作无穷大，此时磁路的磁阻取决于气隙和永磁体。在图1中很容易可以看出，d轴磁路的磁阻明显大于q轴磁路的磁阻，因此q轴电感要大于d轴电感。在内置式永磁同步电机中，由于转子在旋转过程中，永磁体和相轴线的相对位置发生变化，磁路一直在发生变化，因此等效磁阻，或者说等效磁导率是周期性变化的，这样导致电感的周期性变化。而在表贴式电机中，由于气隙磁导率处处相等，因此磁导率是一直保持不变的。如图2所示。关于dq轴电相对大小的问题，我们有了初步的结论。

图2 表贴式永磁同步电机磁路示意图

前面提到，内置式电机随着电机转子转动，磁路等效磁导率规律性变化，则定子绕组的自感和互感也会规律性变化。如图3所示为定转子的相对位置，在一个电角度周期之内，磁路变化了两个周期，根据公式，电感也会变化两个周期。因此，即电角度周期是电感变化周期的两倍。将图3中的磁导率变化曲线总结为公式。

(3)

式中，α为以d轴为原点时，某点距d轴的电角度。

图3 气隙磁导示意图

因此，对于内置式永磁同步电机，三相绕组的自感分别为

(4)

对于表贴式电机，由于气隙均匀，则其自感为

(5)

式中，L_s0和L_s2分别为自感L_AA、L_BB、L_CC中的恒定分量和二次谐波的幅值；θ为电角度。

图4 电感曲线示意图

其实，细心的读者从图4中也可以看出，d轴的电感是电感曲线的谷值，q轴电感是电感曲线的峰值。但是，我们还没有考虑互感，所以还没有办法过早下结论，等我们在最后总结。

以BC相绕组之间的互感M_CB为例。根据互感定义，M_CB表示单位B相电流产生的基波磁场与C相绕组中所形成的互感磁链为

(6)

式中L_AAd和L_AAq是A相绕组轴线与直轴和交轴重合时，与通过气隙进入转子这部分磁链相应的电感。由图3可知 

 

(7)

则相应的互感为

(8)

在忽略漏感的情况下

(9)

同样的，M_s0为恒定分量，L_s0为二次分量幅值。

所以，由于漏感很小，因此对于理想电机，可以认为

  

(10)

其余的相间互感可以表示为

(11)

对于表贴式电机，其相间互感

(12)

通过以上步骤，我们得到了三相电感的自感和互感的表达式。但是为了得到dq电感，我们还需要对三相电感进行变换。

从上面的分析中我们可以看出，相电感的表达式中含有2θ的周期性分量。我们可以通过dq0变换把时变的定子电感矩阵对角线化和常数化。将电感矩阵写为

(13)

在确定了图中的电感矩阵之后，我们有两条路线去得到dq0电感。

（1）磁链方程

首先，我们已经知道Park变换矩阵及其逆矩阵为

(14)

那么，求解磁链矩阵时，有

(15)

因此，可以得到

(16)

（2）求对角矩阵

这是一种更直接的方法。但是物理意义并不是很容易看出来。对于电感矩阵，我们如果想得到dq0电感矩阵，需要求其特征值。

令，则

(17)

解以上方程可以得到三个特征根。

  

(18)

在前面我们提到，

  

(10)

因此，

  

(19)

如果根据特征值进一步推导可以发现，把电感矩阵对角化的两个变换矩阵就是dq0变换的矩阵及其逆矩阵。

综合来看，我们可以知道，在电感曲线中q轴电感为电感曲线最大值1.5倍，d轴电感为电感曲线最小值的1.5倍。

其实，大家更关心的问题是，怎样通过外部测量来知道dq轴电感。对于电机控制来说，只需要知道dq轴电感多大就可以建立电机的数学模型。所以一种快速简单估算dq电感的方法是很重要的。根据前面的推导，我们已经知道了dq轴电感与一相自感的关系。但是，在接不到中性点的情况下，我们没有办法直接测相电感。在这种情况下，我们可以通过ABC三端中的两端来间接获取单相电感。

图5 电感测量电路

如图5为测量电感的电路，我们以AB相之间为例。我们现在已经知道A相自感、B相自感、AB相互感的表达式。因此，根据电感串联规则可以算出AB之间的电感为

 

(20)

根据上面的公式可知

 

(21)

当然，我们可能知道不容易获得特定的转子角度，但是，通过使用LCR表测量L_AB的变化曲线即可以根据L_AB的最大值和最小值，我们可以得到dq电感的估计值。

2 电感的饱和

电机控制环路的参数，弱磁控制的给定值都与电感大小有关。如果在电机运行中发生电感饱和现象，电机控制的效果和性能将受到很大的影响。在上一节的推导过程中，我们假设磁路仅受转子旋转时位置变化导致的等效磁阻变化影响。因此，算得的dq轴电感是恒定值。但是，这一结论的前提为电机是理想电机，没有铁芯饱和。在电机工作在大转矩或者弱磁区中时，定子电流较大，往往使电机铁芯发生饱和的情况。本节简单分析dq轴电流变化对dq轴电感的影响。

根据上一节提到的电感的计算公式我们知道，电机定子绕组的匝数，截面积等参数是不变的。电感大小主要受磁路中的磁导率影响。

  

(2)

在电机的磁路中，有铁芯、气隙、永磁体三种材料。其中，气隙和永磁体的磁导率很小，磁阻很大，可以看作是恒定值。但是铁芯存在饱和的现象。如图6所示为铁芯的磁导率曲线示意图，当电流增大时，磁动势增大，但是由于铁芯的磁导率进入饱和区后会变小，产生的磁链与磁动势不成比例，因此，电感会减小。

图6 铁芯磁导率曲线示意图

具体到永磁同步电机，由于工况变化，电流矢量会影响铁芯饱和，从而影响绕组电感的大小。但是，电流矢量又分解为dq轴电流，因此，dq轴电流针对铁芯饱和情况的影响又各不相同。

对于q轴，当电机输出转矩增大的时候，由于q轴电流增大，所以q轴磁路中出现饱和，q轴电感相应减小。

对于d轴，当电机工作在弱磁状态时，d轴电流向反方向增加，d轴磁路处于弱磁状态。此时，由于d轴磁链被削弱，因此，d轴电感是增大的。但是，由于d轴磁路的磁阻比q轴大，因此，在相同的电流幅值作用下，d轴电感的变化比q轴的要更小。

图7 dq电感随电流变化示意图

如图7为dq电感随电流变化的示意图。从图8(a)可以看出，在d轴电流反向增大时，d轴电感增大。从图8(b)可以看出，在q轴电流增大时，q轴电感减小。

3 总结

电感是电机中的重要参数，涉及内容非常复杂。但本文没有只是从电机控制的角度去简单理解永磁同步电机中dq电感的计算和变化特性。相信对于快速评估dq轴电感有重要的作用。dq轴电感的实际情况更为复杂，比如，dq轴之间还存在交叉饱和效应、电感的漏感以及电感的高次谐波问题，都会对控制产生影响。但是，限于笔者的水平和时间，这篇文章仅展示了电感的冰山一角。

参考文献：

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[3]    王艾萌, 新能源汽车新型电机的设计及弱磁控制[M]. 新能源汽车新型电机的设计及弱磁控制, 2014.

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