三维坐标系 概述三维坐标系：三维坐标系是二维坐标系的扩展，在X轴和Y轴基础上加一个Z轴，垂直于（正交）X轴和Y轴，Z轴的方向确定是根据右手定则； 说到右手定则，我有段时间一直和别人争论，咋回事呢？因为我的手势和别人不一样！ 后来用两种手势都比划一下，发现结果是一样的,所以各位感觉哪个方便就用哪个吧，右手定则结果只有一个！如下两幅图：  两种手势，结果一样 在三维坐标系里点P该怎么表示呢？正常是这样P(x,y,z),三个坐标参数。但是在这篇文章里还是用向量的思维去表示它！如下图，向量P,是x个x单位向量，y个y单位向量，z个z单位向量相加的结果！  单位向量表示坐标系里的点 用个如下图例概述下三维坐标系下的变换；  三维坐标系变换图 上图中显示一个蓝色坐标系和一个红色坐标系，我们需要搞清楚它们之间的关系！ 看着花里胡哨的，其实它们的关系并不复杂！ 图中可以看出，红色坐标系{B}是通过向量t（x，y，z）平移的； 蓝色坐标系{A}通过向量t（x，y，z）平移后； 然后经过复杂的旋转得到红色坐标系{B}； 和二维坐标系的平移和旋转类似，只是多了一个维度，旋转就复杂了很多，下面详解旋转部分！ 下面我们探究的就是以坐标系{A}为参考坐标系的点P，和以坐标系{B}为参考坐标系的点P，两者之间的关系，和二维一样，我们会分两步表示这个关系： 第一步，旋转； 第二步，平移； 概述三维坐标系里的旋转方向和顺序特点：上图中的两个坐标系，你可以想象，把蓝色的坐标系{A}拿在手里，旋转摆弄它，让它看起来像红色的坐标系{B}。 三维坐标系有个欧拉定理，它表示任何旋转都可以看作是围绕不同坐标轴的一系列旋转。 怎么理解这个定理呢？如下图所示：显示了一个右手坐标系，以及在围绕不同的坐标轴旋转了不同角度后的显示效果。  坐标轴旋转例子 再看下图所示的两组图，可以看出为什么三维坐标系旋转比较复杂了； 两组坐标系分别旋转的角度和位置都是一样的，但是旋转顺序不一样，最终的结果也不一样了：  两种旋转顺序 正交旋转矩阵：只作旋转的分析，我们可以把坐标系X/Y/Z的轴都看成是单位向量（三个轴的长度都为1，便于写公式计算），和二维坐标系一样，三维坐标系的方向就可以用单位向量表示，如下公式中的坐标系旋转转换关系，左边是用单位向量表示的{A}坐标系，等于右边旋转矩阵R点乘用单位向量表示的{B}坐标系；  坐标系旋转变换公式 上式中的旋转矩阵R和二维坐标系的R是有所不同的，它并不是一个确定的旋转矩阵，三维坐标系的旋转，可以绕X轴旋转，可以绕Y轴旋转，也可以绕Z轴旋转，或者任意组合旋转，所以比较复杂！ 分别列出绕X轴、绕Y轴、绕Z轴旋转的旋转矩阵，如下图，推导过程就不写了，有兴趣的看我以前写的文章，这次主要讲用MATLAB的算法，直接使用就好！  用MATLAB写的计算程序如下，rotx函数是计算绕X轴旋转的，里面的参数pi/2是弧度单位！ >> R = rotx(pi/2)R =1.0000 0 00 0.0000 -1.00000 1.0000 0.0000用图形化显示出来，如下图a；  原点坐标系旋转后结果 三维的旋转不太直观，可以用用matlab输出旋转的动画图，用下面这个函数： >> tranimate(R) 旋转动图
 错误的结果 还可以输出3D图，加上红蓝3D眼镜看，比较牛逼，函数和眼镜和动图如下： >> tranimate(R, '3d') 3D眼镜 旋转完X轴后，在X旋转的基础上再次旋转Y轴试试，程序和显示结果如下图b所示； 原点坐标系旋转后结果 加动图，程序函数和动图如下； >> tranimate(R)旋转动图 如果颠倒旋转顺序，先转Y轴再转X轴，那么结果是完全不同的，程序和如下； 旋转动图 三角度表示法：
这意味着一般情况下，坐标系间的任意旋转可以分解为三个旋转角和相关的旋转轴序列； 意思就是说你把三维坐标系拿在手里，随便旋转（不是绕着某个轴旋转，是立体空间的随意转动），转动后的坐标系状态都可以通过只转动X轴/Y轴/或Z轴，一次，两次，或者三次得到；至于先转动哪个轴线我们就叫它旋转轴序列，下面我们会详细探究！ 旋转顺序古人已经给我们定义好了，要求是绕三个轴依次旋转，但是不能连续绕同一个轴旋转两次。旋转顺序分为两种：
这是两个物理学家命名的旋转方式； 欧拉式是绕一个特定的轴重复旋转，但是不是连续的，如：
卡尔丹式是绕着三个不同的轴旋转，如：
这两种旋转，手动调试过机器人的可能深有体会，想把一个抓手手动移动到一个姿态，先转动哪个坐标轴再转动哪个坐标轴，有很多方法可以达到，基本上也都是下意识的操作，没有去总结其中的规律（和物理学家的差距，哈哈）； 再比如会玩魔方的朋友，旋转魔方，也是按照这两种方式里的一种旋转规律操作的，只是大家不知道这个旋转还有个名字！ 所有的这12种旋转顺序统称为欧拉角！ 下面用ZYZ欧拉角为例证； 公式表示为： ZYZ 程序用单轴旋转函数表示为： >> R = rotz(0.1) * roty(0.2) * rotz(0.3);或者用eul2r函数表示为，eul2r函数是把弧度转化为参与运算的旋转矩阵： 如果反过来，知道旋转矩阵，想转换为弧度，则用tr2eul函数，反函数程序如下： >> gamma = tr2eul(R)但是这种求反函数很大可能是不唯一的，也就是说，你可以给定三个轴的旋转角度得到唯一的旋转矩阵， 但是你知道旋转矩阵想反推旋转角度就可能不是你想要的数值了； 实际应用也会遇到同样的问题，比如用ZYZ欧拉角的机器人你示教了两个点，抓手从a点旋转到b点，轨迹是没有问题的，但是想计算出哪个坐标轴各旋转了多少度，则很大可能计算出来的不是你想要的结果！ 先举例说明一下这个现象，具体解决方式后面再详解！ 如果我们让上面的θ值为负值，-0.2； 我们用程序模拟一下，先转换为旋转矩阵； >> R = eul2r(0.1 , -0.2, 0.3)R =0.9021 -0.3836 -0.19770.3875 0.9216 -0.01980.1898 -0.0587 0.9801然后再求反函数，通过旋转矩阵求弧度： 可以看出，这个弧度怎么和输入的不一样呢！ 但是你再求这新的三个弧度值得旋转的矩阵： >> eul2r(ans)ans =0.9021 -0.3836 -0.19770.3875 0.9216 -0.01980.1898 -0.0587 0.9801这个旋转矩阵又和（0.1，-0.2，0.3）这三个弧度的旋转矩阵相同； 由此我们证明了上面所说的，从旋转矩阵到欧拉角的对应关系并不是唯一的！ 如果θ值为零，我们脑补下，ZYZ欧拉角旋转，其实就是Z在旋转，下面程序验证下： 再求反函数： >> tr2eul(R)ans =0 0 0.4000这里求出的最后一个Z弧度是0.4，是两个Z弧度相加的和！ 再举个ZYX欧拉角的例证 这种卡尔丹角，常用的是XYZ和ZYX两种，工业机器人各家用法也不同，KUKA用的是ZYX，史陶比尔用的好像是XYZ；公式如下： ZYX 在飞机或船舶导航上Z、Y、X对应 ，偏航角（航向）、俯仰（姿态）、横滚（侧倾）；
MATLAB有个工具可以模拟飞机的角度旋转，可以实际操作下，X/Y/Z对应的旋转姿态，如下调用程序和图示： 用这个函数tripleangle 调用即可； 模拟飞机航向 程序举例，ZYX的旋转，弧度为（0.1，0.2，0.3）； >> R = rpy2r(0.1, 0.2, 0.3)R =0.9363 -0.2751 0.21840.2896 0.9564 -0.0370-0.1987 0.0978 0.9752反函数为： 由于图片较多，容量大小有限制，就先写到这里，后面会接着搞清楚三维坐标系的奇异点问题，绕任意点旋转，单位四元素这些非常实用的算法！
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