公元 1990 年德国 Springer Verlag 出版公司发行的 The Mathematical Intelligencer 期刊公布一项票选结果：欧拉恒等式(Euler's identity)获选为「最优美的数学定理」(the most beautiful theorem in mathematics) [1]。下面抄录维基百科的欧拉生平介绍[2]：欧拉(Leonhard Euler)，瑞士巴塞尔人也，一七零七年四月十五日生。一七二六年得博士衔。翌年，教俄罗斯科学院，俄与数学竞赛，论船桅之构作，仅败于布给。布给者，泰西航海学之父也。越四年，除教授。复越两年，拜数学系主任。翌年，罹患，右目眇。一七四一年，俄国乱，遂迁柏林，教柏林科学院。一七六六年，返俄罗斯科学院。一七八三年九月十八日卒，年七十七。法兰西哲人孔多塞曰：「至此，欧拉不复算数，亦无复生也。」欧氏执十八世纪数学牛耳，论文近千，惟二十世纪保罗·艾狄胥可匹敌之。究分析，创函数，混一欧洲大陆及英国之微积分；解七条桥问题，开图论及拓扑之先；论复数，究欧拉数，得欧拉恒等式，誉最优美恒等式；论凸多面体，证欧拉等式，后人推而广之，得流形之欧拉特征值；究欧拉函数，得欧拉定理，为费马小定理之推广。 莱昂哈德·欧拉(图自维基)其中 是自然对数的底数，亦称欧拉数， 是虚数单位，满足 (或写成 ， 是圆周率。欧拉恒等式出现三个基本算术运算：加法、乘法与指数，联系了五个基本数学常数：, , , , 。欧拉恒等式是欧拉公式(Euler formula)的一个必然结果，它说：
其中 为任意实数。根据欧拉公式，指数函数 的实数部分等于余弦函数 ，虚数部分等于正弦函数 。在复数平面上， 于单位圆周， 为从 1 至 的(有号)弧长(见图一)。当 ，即得欧拉恒等式。 图一 Euler's formula美国麻省理工学院(Massachusetts Institute of Technology，简称 MIT)斯特朗(Gilbert Strang)教授在他的线性代数教科书里讲述了一个关于欧拉公式证明的故事[3]：我还记得 MIT 收到一名纽约囚犯来信的那一天，他询问欧拉公式是否为真。当你一想到这个公式优美地将三个基础数学函数联系在一起时，不免感到惊讶。我们的最佳答案是利用幂级数完成证明其中实数部分 是余弦，虚数部分 是正弦。这个公式是正确的，我希望当时我们寄出了一个更优美的证明。
[遇见] 小编补充更详细一点的步骤，把函数 ,、 和 ,写成泰勒级数形式：
除了 MIT 给出的泰勒展开式(Taylor expansion)证法，我们也可以用极限定义和微分学来证明[4]。指数函数 定义如下：当 ， 趋于 。见图二，当 ， 的角度和长度分别为其中 表示误差。所以， 从 1 启始，角度旋转了 ，长度伸缩了 。当 ，利用上面两式，可得 图二 The complex number下面说明欧拉公式的微分学证法。写出 的极座标表达式比较等号两边实部和虚部，可得 和 。当 ，，可知 和 有初始值 和 ，合并以上结果可推论 且 ，故证得所求。德国数学家高斯(Carl Friedrich Gauss)曾说[1]：「如果一个学生在被告知欧拉公式时未能立刻视之为明显的事实，这个学生将来绝不会是一流的数学家。」读了 MIT 提供的证明后，那名囚犯是否因此相信欧拉公式是真的？会不会如小说或电影情节那样，囚犯日后成为一位一流的数学家？斯特朗没有透露后续故事。那么听闻欧拉公式后，一般菁英学者又有什么反应呢？从十九世纪美国哈佛大学数学教授皮尔斯(Benjamin Peirce)在讲堂证毕欧拉恒等式之后所说的这段话，不难想像当第一次面对史上最优美的数学定理时，多数的学生是何等茫然与困惑[5]：各位先生，它一定是真实的，它绝对是诡奇的。我们不了解它，我们也不明白它的含意。但我们已经证明了这个公式，所以我们知道它必定是正确的。
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