让我们今天接着聊黎曼ζ函数: 这张图只显示了正半平面的函数(s>1) 解析延拓后复平面上负半平面的黎曼函数是什么呢?(s<0): 你说道,我的老天爷,这也太可怕了,太复杂了! 于是,我先给大家看看黎曼ζ函数(s>1)的图像,它实际上涵盖了复平面正半轴(s>1)的部分,函数线上的点代表了复数坐标(x,yi),这张图出自up主:3bluebrown: 其实那个非常复杂的解析式只是看上去复杂而已,只要明白了各部分的意义,就能明白它的意义。首先,我们看左边: 我们再看右边: 我们上次已经讲了s>1范围内的函数表达式,相信大家还记着它,这里只是换了个定义域,s用s'=1-s(s<0)代替了s(s>1) : s的意义还是我们上次说的,它代表复平面: x,y可以随便取各种数 至于2π和sin没什么好说的,它们是普通的复函数,大家把它们类比为实平面(x,y)上的y=f(x)去理解就可以了,只不过是复平面s(x,yi)上的函数y=f(s)。比如这个人人皆知的迭代分形就是复函数f(s)=s²+C的图: 复变函数:曼德博罗集 那这个东西什么意思呢?Γ是希腊字符,中文名叫伽马,也就是大写的γ,它的表达式是: 伽马函数有什么神奇的性质呢?如果看过我之前的文章,大家应该还记得阶乘怎么算: 阶乘 而 也就是说阶乘可以形成伽马函数形式的无穷积分,文中ε的意思是趋于0的一个无穷小量,它可以取到任意小,永远达不到0但是无限逼近0。至于这些积分怎么算的,这里就不展示了。我们用软件就可以算出结果。 我们把它广义化:从自然数n推广到实数轴x,从实数x推广到复数s=x+yi,于是有: 这些推广看似是理所应当的过程,实际上是多年来数学家的心血之作 数学中重要的是自然现象本身,繁琐的计算过程只能是研究这种现象的手段,我们要透过现象看本质。 这样,我们就知道了: 于是,你再回过头来看这个非常重要的黎曼负半平面解析式 它长什么样子呢?它实际上涵盖了整个复平面负半轴,函数线上的点代表了复数坐标(x,yi),这张图出自up主:3bluebrown。 它可以展开成: 如何才能得到这个复平面下才能成立的重要等式呢(不要觉得这个结果奇怪,它在物理学中有广泛的应用): 只需要把s=-1带进上面的公式就可以了: 我们知道: 所以: 现在,我们已经讲完了s>1,和s<0区域内的黎曼函数了,然而最为神秘的s∈(0,1)内的函数还没有登场。 s∈(0,1)隐藏着科学界为之困扰的未解之谜 欲知后事如何,请听下回分解~ 斩服少女:缠流子 |
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