【原】｜积少成多｜《管理科学与工程》--统计学（28）方差与标准差的区别

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方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是标准差的平方，标准差是方差的平方根。

方差就是离差平方的数学期望，即离差平方的平均值；因此，当方差D（X）小时，说明随机变量X的分布比较集中；当方差D（X）大时，说明随机变量X的分布比较分散；当X是产品的某项技术指标的度量时，方差就是刻画产品质量稳定程度的指标，方差越大表示产品质量越不稳定，方差越小说明产品质量越稳定。

例如，如果某学院管理科学与工程研究生课程班有两人的综合学科《统计学》5次测验成绩如下：

X：50，100，100，60，50，平均值D(X)=72；

Y：73， 70， 75，72，70 ，平均值D(Y)=72。

从上述两次测验成绩看出两人的平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。因此，方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为E(X)：直接计算公式分离散型和连续型。推导另一种计算公式得到：“方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数”。

方差的算术平方根叫做标准差，反映组内个体间的离散程度。方差和标准差都是衡量一个样本波动大小的量，方差或标准差越大，说明样本数据的波动就越大。标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。标准差σ=

例如，假设一个有六个数的数集2,3,4,5,6,8，其标准差可通过以下步骤计算：

1）计算平均值：(2 + 3 + 4 + 5+ 6 + 8)/6 = 30 /6 = 5

2）计算方差：

(2 – 5)^2 = (-3)^2= 9

(3 – 5)^2 = (-2)^2= 4

(4 – 5)^2 = (-1)^2= 0

(5 – 5)^2 = 0^2= 0

(6 – 5)^2 = 1^2= 1

(8 – 5)^2 = 3^2= 9

3）计算平均方差：(9 + 4 + 0 + 0+ 1 + 9)/6 = 24/6 = 4

4）计算标准差：标准差σ=(根号4)=2

以上内容在考核中主要以单项选择题、计算题、简答题的形式进行考察。

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【题例1】一组数据1，-1，0，-1，1的方差和标准差分别是(     )。

A、0  ，   0

B、0.8，   0.64 

C、1    ， 1

D、0.8  ，根号0.8

【答案提示】 ：D。

【题例2】数据2，2，3，4 , 4的方差S²是（    ）。

A、15/5       

B、45/5 

C、4/5   

D、5/4

【答案提示】 ：C。

【题例3】为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗随机各取5株量出每株的长度如下表所示(单位:厘米) :

编号	1	2	3	4	5
甲	12	13	15	15	10
乙	13	14	15	12	11

经计算，所抽取的甲、乙两种水稻秧苗长度的平均数都是13厘米，方差S²_甲=3.6厘米 ²；那么S²_乙=（ ）厘米²，因此（  ）种水稻秧苗出苗更整齐。

A、6/5; 乙

B、2；乙

C、2 ; 甲

D、2；乙

【答案提示】 ：D。

素材来源 |相国申硕团队