简单的讲点n维空间：实变函数与泛函分析

在实分析和复分析的数学研究中，经常出现XX空间等词，有些朋友可能会好奇了，这里的空间和我们现实生活中的空间有关吗？

别着急，我们们先从简单的集合说起。

笛卡尔积

笛卡尔积的定义是这样的：两个集合A，B，定义A与B的笛卡尔积为｛（a，b）|a∈A，b∈B｝，记作A×B。如果A和B是同一个集合，也可以简写为A^2。

举个例子，一个集合A是｛1，2，3｝，一个集合B是｛1，2｝，则A×B为｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2）｝也就是一个数对中，第一个数是A中的任意数，第二个数是B中的任意数，所有的这样的数对组成的集合就是A×B。

n维欧几里得空间

n维欧几里得空间需要两个东西

1. R^n。这里的R是指实数集，R^n的实质就是｛（_，_，_，_………）｝里面共n个空位，每个位置任意填一个实数构成的所有数对组成的集合

2.度量（以及诱导出它来的欧几里得范数），就是对距离的定义。这里我们不多讨论，我们只说一说欧几里得空间中的度量。我们定义点A（a1，a2，……an）与点B（b1，b2，……bn）之间的欧几里得度量（其实就是距离）为√（

a1-b1）^2+（a2-b2）^2+……+（an-bn）^2。而范数就是一个点到原点的距离。细心的朋友可能注意到了，平面直角坐标系就是二维欧几里得空间，因为它的每个坐标都是实数，同理，空间立体坐标系就是三维欧几里得空间，而欧几里度量就是两点间的距离。

我们都知道这是立体坐标系，但是我们现在知道了他的新身份：三维欧几里得空间

其他的空间

欧几里得空间的性质虽然很好，但他太特殊了，我们研究的并不总是欧几里得空间，接下来我来介绍一种最普遍，最一般的空间，线性空间（也叫向量空间，英文名vector space）。他的定义如下：

设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.

3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.

4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.

5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).

6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域.当P是实数域时，V称为实线性空间.当P是复数域时，V称为复线性空间。顺带一提，在介绍欧几里得空间时我说的度量和范数并不是所有线性空间都存在的，若存在度量，则称为度量限行空间；若存在范数，则称为赋范线性空间。

看的有些吃力的朋友可以跳过，在以后的学习中你将会对各种空间有种直观的认识。

实变函数的序言基本就到这里了，这三节课是为了没有学过数学分析与高等代数中的前置知识的读者准备的，下节课我们会真正开始进行实变函数的学习。没关注的朋友可以关注一下我以防以后找不到我