纽结的故事4：Jones多项式

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Jones多项式是区别不同纽结的利器，其诞生本身就具有传奇色彩。新西兰数学家Vaughan Jones是泛函分析领域中算子代数方向的专家，在他1984年的一次演讲中，一位听众——美国拓扑学家Birman对他说，演讲中出现的一组公式似曾相识，似乎与拓扑学中的纽结理论有关……由此，Jones多项式诞生了。

一边是泛函分析，另一边是拓扑学，这两个看上去十分遥远的领域竟然有戏剧性的联系。然而更稀奇的是，Jones竟然在统计力学也绽放出美丽的花卉。1990年Jones荣获菲尔兹奖，其余三位获奖者中的两位是理论物理学家，他们也对纽结不变量理论有所贡献。

下文我们将详细介绍Jones多项式。

bracket多项式

为了理解Jones多项式，我们首先介绍bracket多项式，它是由美国数学家Louis Kauffman引入。

观察纽结每个交点附近区域的分割情况，我们将对顶角标记相同的字母（A或B），如上图。而消除一个交点则有两种情况：要么是“打通”A通道，要么“打通”B通道。

由于每消除一个有两种选择（打通A通道或打通B通道），则一个交点数为的纽结，不计选择顺序，反复进行如上操作，直至消除所有交点，最终我们只会剩下若干闭合曲线——这样的状态总数为。

对于每一个状态，我们记表示打通A通道的个数，表示打通B通道的个数，表示最终所剩的闭曲线个数。

如上图所示，左手三叶结被拆解为右图所示状态，3个交点中有2个选择打通B通道，1个选择打通A通道，并且最终剩余闭曲线数为1，即记为

最终我们对每个状态进行求和

这个表达式称为尖括号多项式的状态模型公式，其中待定。

那么bracket多项式需要满足哪些关系呢？

你一定奇怪为什么的指数是，这是何用意？我们考虑平凡纽结——圆周的bracket多项式：此时，，于是

原来这么设计是为了让平凡纽结的bracket多项式为单位元。还有一条重要的拆接关系式：

这有点像是量子力学中的叠加态，交点“”（粗线压在细线上方）的拆解结果既可能是A通道打开，又可能是B通道打开，所以是两者的叠加态。

最后一条性质还是关于平凡纽结以及链环（多个纽结）：

能否成为纽结不变量？

当然这个bracket多项式离我们最终要介绍的Jones多项式还差一步之遥。Jones多项式是纽结不变量，前几篇文章我们介绍过Reidemeister三种初等变换（R1，R2，R3），它是纽结不变量的试金石。下面我们讨论，bracket多项式能否通过三种初等变换的检验，从而晋升为纽结不变量？

回忆三种Reidemeister变换：

先看R2变换：反复使用前文提及的性质，做如下拆解——

如果我们想要bracket多项式在R2变换下保持不变，那么需要满足：

于是解得

巧合的是这个关系在R3变换下也保持不变，这个留给读者进行验证。我们将上述关系带入状态模型公式：

于是bracket多项式化为只关于单变量的纽结不变量。

最后一步改造

读者会问，那为什么不讨论R1变换啊？因为bracket多项式在R1下并不能保持不变：

但我们不能再进一步强行令等于，否则bracket多项式退化为具体的数字，这与原来的多项式相比，损失的信息太多了。那么bracket多项式究竟少了什么才以至于错失为同痕不变量呢？

答案是拧数 ：一个有向链环的全体交叉点的符号总和。R1变换会导致拧数增加，所以只要我们消除拧数的影响就可以了。

沿着这个思路，万众瞩目的Jones多项式终于闪亮登场——

由于平凡纽结拧数为，所以其Jones多项式仍然为，即。

理论上现在我们可以对任意一个纽结或者链环计算其Jones多项式，只不过计算过程稍显繁杂。为了方便计算，有拆接公式如下：

其中表示三个几乎相同的链环或纽结，只是在某个交点处呈现三种不同的状态：

那么这三个链环或纽结的Jones多项式满足如上方程。

实例与计算

例1

例如计算简单圈套如上图左，我们借助图中、图右另外两个平凡纽结代入拆接公式。利用性质可得两个分离圆环的bracket多项式：

由于这个平凡的链环拧数为，由Jones多项式的定义可知，其bracket多项式与Jones多项式相等。最后我们代入公式

<左右划动>

于是立即可得

例2

借用例1，我们立即可以计算右手三叶结的Jones多项式：

<左右划动>

于是立即可得

同理我们可以构造左手三叶结的拆接关系，计算其Jones多项式：

我们看到左右手三叶结的Jones多项式确实不一样，这说明两者不同痕！

预告

下一期将会介绍纽结与统计力学的关系，敬请期待。