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还有一些“尾巴长长”的数，在经过了连乘之后，所得的积仍旧带有同样的“长尾巴”，这与我们前面讲过的25或76的特性是相同的。 比如我们想要找出属于这一类的三位数，就需要在25或76前加上一位数字。 仍旧以76为例，假设在它的前面增加的数字是k，那么得到的三位数就是：100k+76。以这个数为结尾的数可写为1000a+100k+76、1000b+100k+76，等等。计算1000a+100k+76与1000b+100k+76的乘积可得：
在这个结果的各部分当中，除了最后两数之外，其他各数都含有三个以上的0，因此我们只看最后两个数。来计算一下这两个数之和与100k+76的差：
如果这个差能被1000整除，那么上面所求的两数乘积就一定是以100k+76为结尾。从这个结果中我们可以看到，只有当3=k时，这个差肯定能被1000整除。因此我们正在求的这个三位数是376，376具有我们目前所探讨的这一特性，也就是它的任意次方同样是结尾为376的数，比如3762=141376。 现在继续找下去，这一次要找到的是一个具有这种特性的四位数。在376的前面加一位数，假设这个数是l，那么当l等于几时，两个以376为结尾的四位数10000a+1000l+376和10000b+1000l+376的积的结尾一定是1000l+376呢？你可以自己动笔计算一下，算出两数之积后，将乘积中的括号去掉，结尾中不少于4个0的各项也去掉，剩下的两项之和就是1000l+376。用这两项之和减去1000+376：
我们知道，只有当这个差能被10000整除时，上面两数乘积的结尾才会是1000l+376，因此9=l，我们所求的四位数是9376。 如果还想继续向前推理，那么用同样的方法，可以得到09376、109376、7109376，等等。就这样，一步一步地在求出的数前面（即左边）的数位上不断进行添加，最终将得到一个有无限多个数位的“尾巴长长”的大“数”： ……7109376 事实上，如果用同样的方法对两位数“76”进行推理，那么也就是要求出在6的前面加一个什么数字，能使组成的两位数具有我们所探讨的这一特性，所以我们也可以说这个数位无限多的“数”……7109376，是在6前面逐一加上相应的数得到的。 这一类型的数能够按照我们通常所用的规则进行加法和乘法运算，原因在于使用竖式进行加法或乘法运算时都必须从右向左完成，而且具有这一特性的两数之和还可以逐位地减去任意多的数字。 但你一定没有想到的是，我们刚刚得到的那个有着无限多个数位的“尾巴长长”的“数”居然能够满足方程：
这一点对于任何人来说都是难以置信的，那么它的依据是什么呢？ 由于这个数的结尾是76，那么它的平方（该数与它自身的乘积）的结尾一定也是76。但同样的，它的结尾也一定是376，或者9376……换一个说法就是：当x的值是“……7109376”时，对它的平方x2的值从右向左逐位去掉每个数位上的数字，一定会得到一个与x的值相等的数，因此x2=x在这里是成立的。 我们已经分析过了结尾为76的数，用同样的方法也可以对结尾是5的数进行分析，并可以得到5、25、625、0625、90625、890625、2890625……最终也将得到一个有无限多个数位的大“数”： ……2890625 同时，它也可以满足方程x2=x，并且能够证实这个数“等于”：
这个结果无疑令人觉得乐趣无穷，如果用代数语言来描述它，那就是：方程x2=x（x=0和x=1除外）有两个“无限”的解，它们分别是：x=……7109376和x=……2890625，在十进制中，只有这两个解。 这种数位无限多的数在其他进制中也有，并非十进制的“专利”。（俄.别莱利曼） |
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