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这是一道求函数最值的应用题： 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为10(km/h)时，燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小? 分析：注意，题目中与速度的立方成正比的燃料费，其实是每小时的燃料费。这从“当速度为10km/h时，燃料费为每小时6元”就可以看出来。这一点很重要，要不然题目就无法解决了。因此这个问题中的比例系数其实是有单位的，它的单位是'元*平方小时每立方千米'。因为只有这样，乘以速度的立方单位“立方千米每立方小时”，得到的才是每小时的燃料费“元每小时”。 解：记速度为xkm/h，燃料费为y元，则y=kx^3.【这是待定系数法的运用】 将(10,6)代入上式，得6=1000k，解得：k=0.006. 记每航行1km所消耗的费用为f(x)=(0.006x^3+96)/x (x>0).【注意，这个函数表达式中，分母的单位是千米每小时，而不是千米。而分子中两项的单位都是元每小时，单位运算的结果就是“元每千米”，符合题目的要求。如果0.006x^3的单位不是元每小时，那问题就来了，根本无法运算的。老黄之所以要对这个地方特别解释交代一下，就是因为老黄觉得，可能有一些爱动脑筋的小伙伴，会在这里想不通。不过，这也比那些没有想到这个问题的小伙伴好哦。数学这东西，你不寻根问底，是很难真正学得好的。】 当f’(x)=0.018x-(0.006x^3+96)/x2=0时, x=20.【目的是求函数的稳定点】 当x<20时, f’(x)<0; 当x>20时, f’(x)>0,【这是极值的第一充分条件的运用，说明x=20是函数的极小值点】 且f在(0,+∞)处处可导，【这说明x=20是函数的唯一极值点，而且是唯一的极小值点。这种情况下，极小值点就是最小值点。我们可以从中提炼出一个定理来“函数有唯一的极值点时，该极值就是对应的最值。”如果这个极值点是极小值点，那么极小值就是最小值；如果这个极值点是极大值点，那么极大值就是最大值.在开区间上，只有一个最值. 即有最小值就没有最大值；有最大值就没有最小值】 ∴x=20是f(x)唯一的极值点, 且为极小值点. 即f(20)=(0.006×20^3+96)/20=7.2(元)最小. 函数的图像大致如图：  你看明白了吗？ |
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