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网友问了一道高中数学选择题，是一次仅次于选择压轴的难题。题目本身有多难，见仁见智，关键要完成它，需要的时间可能比较多。老黄想到了一个秒杀的方法，不过老黄是想了比较长的时间才想出来的，并不是真正意义上的秒杀。如果高中生能在高考的过程中，迅速运用这种方法，那么清华北大将不再只是一个梦。至于如何才能做到在高考中，分分钟秒杀这种难度的题目，就要靠平时多积累，多练习了。比如淫浸这道题的秒杀方法，就是其中的一块砖瓦。我们先来看题吧：（题目被改成解答题的形式） 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c(a,b,c∈R), 若不等式f(x)>0, 解集为{x|x>m, 且x≠n}, 且n-m=1, 求函数f(x)的极大值. 分析：先看看不是秒杀的方法，也就是老黄一开始用的方法，因为没有对比就没有伤害。 首先，根据题意，我们可以大概画出函数的图像，如图：  即三次函数对应的三次方程，有三个实根，其中两个是重根，即m, n, n. 因此， 解法1：依题意,x^3+ax^2+bx+c=(x-m)(x-n)^2=x^3-(2n+m)x^2+(n^2+2mn)x-mn^2, 又m=n-1, ∴a=-2n-m=-3n+1, b=n^2+2mn=3n^2-2n, c=-mn^2=-n^3+n^2, f’(x)=3x^2+2ax+b=3x^2-(6n-2)x+3n^2-2n, 【注意，三次函数对应方程的重根，也是三次函数的导数所对应方程的根，因此可以运用韦达定理】 设f(x)的极大值点为u, 则u+n=(6n-2)/3, 【这里之所以不运用积的韦达定理，是因为结果本质上是一样的】 可得：u=(3n-2)/3, 因此f(x)的极大值为： f(u)=(3n-2)^3/27+(-3n+1)(3n-2)^2/9+(3n^2-2n)(3n-2)/3+(-n^3+n^2)=4/27. 最后这一步化简消掉n，运算起来能掉一层皮，要花很多时间，还容易出错，关键心里还没底。有信心的话，可以不管含n的项，只算常数项，就会节省很多时间。不过再怎么节省时间，都不如下面这种秒杀的方法。 由于函数平移并不改变极大值的大小，所以我们可以把f(x)平移到一个合适的位置，使之变得非常易求。 解法2：平移f(x)的图像，得到函数g(x)=x(x-1)^2=x^3-2x^2+x，【此时m的平移对应点是0，n的平移对应点是1】 则当g'(x)=3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)=0时， x1=1/3, x2=1，【x2对应的是极小值f(n), x1对应的就是所求的极大值】 所以极大值f(1/3)=g(1/3)=(1/3-1)^2/3=4/27. 怎么样？是不是超简便呢！平时多找找这种秒杀难题的简便方法，高考的时候，这些方法就会自己来找你的哦。 |
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