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这道高考数学真题涉及到很多知识点，包括幂函数、指数函数、对数函数，以及求导和不等式等知识。做一题，就可以复习很多方面的知识，非常经济实惠。让我们一起来看看题目吧！ 已知a>0且a≠1, 函数f(x)=x^a/a^x (x>0). 若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围. 分析：这道题用一般的解法，老黄解不出来。不过下面的解法也是正确的。只是它并不能适用所有这种类型的题目。换句话说，可以用这种解法解这道题，是因为题目本身就是被设计好的。因此这种解法并不能形成一种套路。如果用一种解法就可以解决所有同类问题，那么这种解法就被老黄称为套路。 下面老黄边解题，边讲解。 解：当x^a/a^x=1时，x^a=a^x，【方程的根，就是曲线f(x)与直线y=1的交点的横坐标】 等价于alog_a x-x=0. 【等式两边取a为底的对数，再移项，转化问题，以降低题目的难度】 记g(x)=alog_a x-x, 则g'(x)=a/(xlna) -1. 【接下来讨论g的单调性】 当0<a<1时, g'(x)<0, 即g(x)是严格单调减函数， 方程alog_a x-x=0最多只有一个根.【因为严格单调函数最多只有一个零点，这样就可以排除a在[0,1]的区间上的可能性】 当a>1时，解方程alog_a x-x=1, 得x=a/lna; 【x=a/lna是g(x)的极值点，且是极大值点，因此极点的函数值g(a/lna)必然大于0】 当x<a/lna时, g'(x)>0，g(x)单调递增；当x>a/lna时，g'(x)<0, g(x)单调递减； 又g(a)=0, 【即a是f(x)与直线y=1的一个交点】 所以a/lna不等于a, 【若极大值点等于0，则与上面矛盾】 即a≠e, 当a<a/lna时, 1<a<e, a^3>a/lna, 【目的是找到一个函数比0小的点，就可以运用根的存在性定理，证明除了x=a，还有另一个根】 由g(a^3)=3a-a^3<0, 知alog_a x-x=0有且仅有两个不等的实根, 当a>a/lna时, a>e，1<a/lna，【也是为了换到一个函数比0小的点】 由g(1)=-a<0, 知alog_a x-x=0有且仅有两个不等的实根, 综上，a∈(1,e)U(e,+∞).  解这道题的关键，就是分别在(1,e)和(e,+∞)上找到一个点，使这个点的函数小于0. 如果这个点太难找，或者不存在，但是我们找不到又不能下结论说它不存在。那就不能用这种方法解了，因此老黄才会说这种解法不能形成套路. 你有更好的解法吗？ |
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