高考数学专题讲解：三角函数（七）

高考数学专题讲解：三角函数（七）

第十二部分：解三角函数方程

【正弦方程题型解法设计】

【题型一】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第一象限角时：；

（2）、当为第二象限角时：。

【题型二】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第三象限角时：；

（2）、当为第四象限角时：。

【题型三】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第一象限角时：；

（2）、当为第二象限角时：。

【题型四】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第三象限角时：；

（2）、当为第四象限角时：。

【题型五】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第一象限角时：；

（2）、当为第二象限角时：。

【题型六】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第三象限角时：；

（2）、当为第四象限角时：。

【题型七】：解方程：；

【解法设计】：。

【题型八】：解方程：；

【解法设计】：。

【题型九】：解方程：；

【解法设计】：。

【余弦方程题型解法设计】

【题型一】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第一象限角时：；

（2）、当为第四象限角时：。

【题型二】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第二象限角时：；

（2）、当为第三象限角时：。

【题型三】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第一象限角时：；

（2）、当为第四象限角时：。

【题型四】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第二象限角时：；

（2）、当为第三象限角时：。

【题型五】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第一象限角时：；

（2）、当为第四象限角时：。

【题型六】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第二象限角时：；

（2）、当为第三象限角时：。

【题型七】：解方程：；

【解法设计】：。

【题型八】：解方程：；

【解法设计】：。

【题型九】：解方程：；

【解法设计】：。

【正切方程题型解法设计】

【题型一】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第一象限角时：；

（2）、当为第三象限角时：。

【题型二】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第二象限角时：；

（2）、当为第四象限角时：。

【题型三】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第一象限角时：；

（2）、当为第三象限角时：。

【题型四】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第二象限角时：；

（2）、当为第四象限角时：。

【题型五】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第一象限角时：；

（2）、当为第三象限角时：。

【题型六】：解方程：；

【解法设计】：分类讨论：

（1）、当为第二象限角时：；

（2）、当为第四象限角时：。

【题型七】：解方程：；

【解法设计】：。

【解三角函数方程的相关例题】

【例题一】：【2016年高考数学江苏卷第9题】定义在区间上的函数的图像与的图像的交点个数是。

【本题解析】：联立函数和函数构成一个方程组：

    

    

联立函数和函数构成一个方程组：

，；

或者，。

【本题答案】：个

【例题二】：【2016年高考文科数学上海卷第8题】方程在区间上的解为              。

【本题解析】：根据余弦函数二倍角公式得到：；

或者，

或者，或者。

【本题答案】：或者

【例题三】：【2016年高考文科数学天津卷第8题】已知函数，。若在区间内没有零点，则的取值范围是（       ）

A、            B、            C、            D、         

【本题解析】：根据三角函数的半角公式得到：

；

根据三角函数的辅助角公式得到：

。

函数零点：；

在区间内没有零点或者或者；

当时：或者；当时：或者；

所以：。

【本题答案】：

【例题四】：【2014年高考数学江苏卷】已知函数与（），它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是                   。

【本题解析】：交点的坐标为点；

点在函数上；

分类讨论：

（1）、当为第一象限角时：，没有解；

（2）、当为第二象限角时：，。

【本题答案】：

【例题五】：【2014年高考文科数学江西卷】已知函数为奇函数，且，其中，。

（Ⅰ）求，的值；

【本题解析】：（Ⅰ）

无解；或者

；

为偶函数，为奇函数为奇函数

。

【本题答案】：（Ⅰ），；

【解三角函数方程的跟踪训练】

【跟踪训练一】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数，其中常数。

（Ⅱ）令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间(且)满足：在上至少含有个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值。

【本题解析】：

 

【跟踪训练二】：解下面方程。

（Ⅰ）                    （Ⅱ）

（Ⅲ）  

【本题解析】：

 

【跟踪训练参考答案】

【跟踪训练一】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数，其中常数。

（Ⅱ）令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间(且)满足：在上至少含有个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值。

【本题解析】：（Ⅱ）的图像向左平移个单位得到：

的图像向上平移1个单位得到：。

且

且；

；。

【本题答案】（Ⅱ）

【跟踪训练二】：解下面方程。

（Ⅰ）                    （Ⅱ）

（Ⅲ）  

【本题解析】：；（Ⅰ）；

（1）当为第三象限角时：；

（2）当为第四象限角时：。

（Ⅱ）

（1）当为第一象限角时：；

（2）当为第二象限角时：。

（Ⅲ）

（1）当为第二象限角时：；

（2）当为第四象限角时：。