三角函数的性质及三角恒等变形

三角函数的性质及三角恒等变形

 

概述：三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法，于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数、立体几何和解析几何中有着广泛的应用。

【考点梳理】

一、考试内容

1.角的概念的推广，弧度制。

2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式。

3.两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切。

4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin(ωx+)的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角。

5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。

二、考试要求

1.理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。

2.掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确地运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin(ωx+)的简图，理解A、ω、的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号表示。

7.掌握余弦定理、正弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

（2005年考纲删减知识点：“能利用计算器解决三角形的计算问题”）

三、知识网络：

【命题研究】

分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，浙江省2004年高考试题这部分内容有17分，占总分11.3%。试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。

数学试题的走势，体现了新课标的理念，突出了对创新能力的考查。

如：福建卷的第17题设函数

；

（2）若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数的值。此题“重视知识拓宽，开辟新领域”，将三角与向量知识交汇。

高考试题联系现行新教材，如全国（2）卷中的第17题：已知锐角三角形中，（1）求证：；（2）设，求边上的高，就与下列课本习题相接近，课本第一册（下）第四章三角函数的小节与复习例2：已知，求的值。

【复习策略】

三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜。由于三角解答题是基础题、常规题，属于容易题的范畴，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力。

解答三角高考题的一般策略：

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。

三角函数恒等变形的基本策略：

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos²θ+sin²θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin²x+2cos²x=(sin²x+cos²x)+cos²x=1+cos²x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次，即二倍角公式降次。

（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

 

第一课时

【典型例题分析与解答】

例1、

    分析：对三角函数式化简的目标是：

    （1）次数尽可能低；

    （2）角尽可能少；

    （3）三角函数名称尽可能统一；

    （4）项数尽可能少。

    观察欲化简的式子发现：

    （1）次数为2（有降次的可能）；

    （2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；

    （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；

    （4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。

    解法一：

       

    解法二：（从“名”入手，异名化同名）

   

   

   

   

   

   

    解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

   

      

    解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

      

   

   

［注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。

例2、已知函数的图像过点，且b>0，又的最大值为，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。

解：(1)，由题意，可得，解得，所以；

(2) ，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。

［注］本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，其是高考命题的重点内容，应于以重视。

例3、为使方程在内有解，则的取值范围是（　　）

   

   

    分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为，且，于是问题转化为：若关于的一元二次方程在区间上有解，求的取值范围，解法如下：

   

 

 分析二：

   

    解法如下：

   

    　

   

   

［注］换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。

思维能力训练：

1、函数的图象的一条对称轴方程是（    ）

    A.                        B.

    C.                           D.

2、下列函数中，以为周期的函数是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

3、已知是第三象限的角，若等于（    ）

    A.                      B.

    C.                           D.

4、已知，则以下选项正确的是（　　）

A.　　　B.

C. 　 　D.

5、函数以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则φ的一个值是（      ）

A、          B、          C、           D、

6、如图，半径为2的⊙M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB。旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为，那么的图象是（      ）

A、      　  　      B、       　　     C、      　         D、

7、。

8、如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为米（P在水面下则为负数），则（米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：；；；，则其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　。

9、已知函数，

(1)求函数的定义域、值域、最小正周期；

(2)判断函数奇偶性。

10、（1）已知：，求证：；

（2）已知：，求：的值。

11、已知偶函数的最小值为0，求的最大值及此时x的集合。

 

第二课时

【典型例题分析与解答】

例1、已知向量，

(1)求的值；(2)若的值。

解：(1)因为

所以

又因为，所以，

即；

(2) ，

又因为，所以 ，

，所以，所以

点评　本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．

例2、已知向量，向量与向量的夹角为，且，

（1）求向量；

（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为的内角，且依次成等差数列，求的取值范围。

　　分析：本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的一个创新，也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点。解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组问题了，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数问题了。

解：（1）设，由，有　　①

    向量与向量的夹角为，有，

，则　　②

由①、②解得：　

（2）由与垂直知，

由

若，则，

　　　　＝，

，

例3　如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S₁，正方形的面积为S₂．

（１）用a，表示S₁和S₂；

（２）当a固定，变化时，求取最小值时的角．

解：（1）

设正方形边长为，则

（2）当固定，变化时，

令  ，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。

o

［注］三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。

思维能力训练：

1、  （　　）

　　A.2　　　　B.　　　　C.4　　　　D.

2、  给出下列的命题中，其中正确的个数是（　　）

（1）       存在实数α，使sinαcosα=1；

（2）       存在实数α，使sinα+cosα=；

（3）       是偶函数；

（4）       若α、β是第Ⅰ象限角，且α＞β，则tgα＞tgβ

（5）       在⊿ABC中A＞B是sjnA＞sinB的充要条件。

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4　

3、函数的值域为（    ）

A.      B.      C.      D.

4、函数在下面哪个区间内是增函数（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.      

5、若点P在第一象限，则在［０，2］内的取值范围是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

6、定义在R上的函数即是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（　　）

　　A.　　　B. 　　　C. 　　　D.

7、给出问题：已知中，满足，试判定的形状，某学生的解答如下：由条件可得：，去分母整理可得，。故是直角三角形。该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面横线上；若不正确，将正确的结果填在下面横线上。　　　　　　　　　　　　　　　　

8、已知__________。

9、在中，角所对的边分别为，且，

（1）求的值；

（2）若，求的最大值。

10、已知向量，其中是常数，且，函数的周期为，当时，函数取得最大值1。

(1)求函数的解析式； (2)写出的对称轴，并证明之。

11、例2、如图，足球比赛场的宽度为a米，球门宽为b米，在足球比赛中，甲方边锋沿球场边线，带球过人沿直线向前推进。试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中角正切值最大？（注：图中表示乙方所守球门，所在直线为乙方底线，只考虑在同一平面上的情形）。

o

　　　　　

 

答案：

第一课时：1、A　2、D　3、A　4、A　5、A　6、A　7、8、（1）（2）（4）

9、解：(1)，

定义域：，值域为：R，最小正周期为；

(2) ，且定义域关于原点对称，

所以为奇函数。

10、解：（1）

（2）

当时，，

当时，，

11、解：

        ，因为为偶函数，

所以，对，有，即

，

亦即，所以，由，

解得，此时，

当时，，最大值为0，不合题意，

当时，，最小值为0，

当时，由最大值，此时自变量x的集合为：。

 

第二课时：1、D　2、B　3、B　4、D　5、B　6、D　7、不正确，直角三角形或等腰三角形　8、

9、解：（1）

（2）

　　　，又，，当且仅当时，，故的最大值是。

10、解：(1) ，

由周期为且最大值为1，所以由，

所以；

(2)由(1)知，令，解得对称轴方程为，

，所以是的对称轴。

11、解：以L为x轴，D点为坐标原点，建立直角坐标系，设AB的中点为M，则根据对称性有由此可知定点A、B的坐标分别为，设动点C的坐标为，记，且，

当且仅当时，达到最大，

，故该边锋在距乙方底线时起脚射门可命中角的正切值最大。