三角函数总结及统练

三角函数总结及统练

 

（一）基础知识

1. 与角终边相同的角的集合

2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是、、三个量的比值

3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。

4. 三角函数线

正弦线MP=

余弦线OM=

正切线AT=

5. 同角三角函数的关系

    平方关系：商数关系：

倒数关系：       

口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。

正弦
余弦
正切
余切

  7. 两角和与差的三角函数

   

  8. 二倍角公式——代换：令

降幂公式

半角公式：；；

  9. 三角函数的图象和性质

函数
图象
定义域	R	R
值域 最值	时 时	时 时	R 无最大值 无最小值

 

周期性	周期为	周期为	周期为
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
单调性	在 上都是增函数；在 上都是减函数（）	在上都是增函数，在上都是减函数（）	在内都是增函数（）

  10. 函数的图象变换 

函数的图象可以通过下列两种方式得到：

（1）

（2）

 

（二）数学思想与基本解题方法

1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。

3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。

4. 角的和与差的相对性

如：－

角的倍角与半角的相对性

如：

5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。

6. 数形结合：心中有图，观图解题。

7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。

8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。

 

【典型例题】

1. 如：（化成一个角的一个三角函数）

[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？

（1）

（2）

（3）

解：

（1），，

   

（2），，

，

（3），

  2.“1”的妙用——凑一拆一

熟悉下列三角式子的化简

；

[例2] 化简     。

答案：

  3. 化异为同

[例3] 已知，求：

（1）    （2）  

（3）

答案：（1）3；（2）；（3）

 

[例4] 已知，求：

答案：

  4. 与间的相互转化

（1）若，则；；=

（2）若，则；

（3）

[例5] 化简：         。

答案：

 

[例6] 设，则      。

    答案：

 

[例7] 若在第二象限，，求。

答案：

 

[例8] 求的最大值和最小值。

    答案：，

  5. 互为余角的三角函数相互转化

若，则；

[例9] 已知，则      。

答案：

 

[例10] 求值：        。

答案：

 

[例11] 求值：

答案：

 

[例12] 求值：        。

答案：

  6. 公式的变形及活用

（1）

（2）若

[例13] 计算      。

答案：

 

[例14]         。

答案：

7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性

[例15] 若，则     。

答案：7

 

[例16] 若，则       。

答案：

 

[例17] 在中，A为最小角，C为最大角，且，，求的值。

答案：

  8. 角的范围的限定

由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。

[例18] 已知，求。

答案：

 

[例19] 若，求。

    答案：

 

[例20] 若是第二象限角且，求的值。

解法一：利用公式然后限定角的范围。

解法二：设利用平方和求的值，然后限定角的范围。

解法三：利用，可回避限定角的范围。

答案：

 

[例21] 已知且，求的值。

关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。

答案：

  9. 在三角形中的有关问题

；；

结论：；

；

[例22] 已知A、B、C是的内角且，试判断此三角形的形状。

答案：等腰三角形，B=C

 

[例23] 在锐角三角形ABC中，求证：

证明：由则

故   同理  

三式相加，得证。

  10. 形如的化简

[例24] 求值：（1）   （2）

（3）

（4）

答案：（1）（2）   （3）   （4）

  11. 三角函数图像和性质的应用

会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。

[例25] 求下列函数的定义域。

（1）

（2）

（3）

答案：

（1）

（2）

（3）

 

[例26] 求下列函数的值域。

（1）

（2）若是锐角，则的值域。

答案：（1）  （2）

  12. 可化为形如：的形式（一个角的一个三角函数）

[例27] 已知函数，当时，求函数的最大值和最小值及何时取到？

答案：时，；时，

  13. 函数的图像的变换——两个题型，两种途径

题型一：已知解析式确定其变换方法

变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。

注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系

题型二：由函数图像求其解析式

[例28] 已知函数，（，）在一个周期内，当时，有最大值为2，当时，有最小值为，求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）

答案：，

  14. 可化为形如：，（定义域有限制的一元二次函数）

[例29] 求函数的值域

解：

 

[例30] 求的最大值、最小值，若记其最大值为，求解析式并化出它的图像。

解：

时，，时，，时，

图略

  15. 周期函数与周期

[例31] 已知函数对定义域中每一个都有，其中，则的周期         。

解：T

 

[例32] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。

解：4

 

[例33] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。

解：8

 

[例34] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。

解：6

 

[例35] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立 ，求其周期。

解：6

  16. 函数与方程的思想

[例36] 方程的解的个数      。

解：63

 

[例37] 为何值时方程有解？ 

解：

 

[例38] 方程，有两解时求的值。 

    解：

 

【模拟试题】

一. 选择题（本题每小题5分，共50分）

1. 的值是（   ）

    A.     B.     C.     D.

2. 若与相等，则的值为（    ）

    A.     B. 或    C.     D.

3. 曲线上一点P（，1）处的切线的倾斜角为（    ）

    A.     B.     C.     D. 以上都不对

4. （）成立的充要条件是（    ）

    A.     B.     C.     D.

5. 偶函数在上单调递减，又A、B是锐角三角形的两个内角，且，则有（    ）

A.                       B.

C.                          D.

6. 是关于的方程的两个实根，则实数的值为（    ）

    A. 2    B.     C. 2或    D. 其它

7. ，且，则的值是（    ）

    A.     B.     C.     D. 0

8. 定义运算为：，例如，则函数的值域为（    ）

    A.     B.     C.     D. 以上都不对

9. 已知，，则下列各数，，的大小关系是（    ）

    A.     B.     C.     D.

10. 设，记，，其中，则（    ）

A.     B. 0    C.     D.

 

二. 填空题（本题每小题4分，共24分）

11. 中，，，，则     。

12. 在（0，）内是增函数，则的取值范围是          。

13. 中，三内角A、B、C成等差数列，若，则

          .

14. 已知，则负数的取值范围         。

15. 下列四个命题（1）若点P（）（）为角终边上一点，则；

（2）若且都是第一象限角，则；

（3）若是第二象限角，则；

（4）若，则。

其中正确命题的序号为         。

16. 已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的P点，依次反射到CD、DA和AB上的点，设，若，则的取值范围为         。

 

三. 解答题（共76分）

17. 设函数的最小值是，

    （1）写出的表达式；（2）试确定能使的的值。

18.（1）已知，，求的值；

    （2）已知，求的取值范围。

19. 求函数函数的最大值及最大值时相应的的集合。

20. 已知奇函数在上有意义，且在上是增函数又有函数，若集合，对所有}，集合，对所有}，（1）求的解集；（2）求。

  21. 下图是一个串并联混合电路的示意图，A、B、C、D都是电路中独立的工作元件，已知A、B、C元件正常工作的概率都是0.9，D元件正常工作的概率是0.8，

（1）求元件D不正常工作的概率；

（2）求元件A、B都正常工作的概率；

（3）求电路正常工作的概率。

  22. 设，函数

（1）判断在R上的单调性；

（2）当时，求在[1，2]上的最小值。

 

 

 

【试题答案】

一.

1. A    2. D    3. C    4. C    5. B    6. B    7. B    8. B    9. B    10. C

 

二.

11.     12.    13.    14.    15. 3   16.（）

 

三.

17. 解：

    ∴（1）   （2）   ∴

18. 解：

（1）∵    

∴

       ∴

（2）设  

        ∴

19. 解：

           

    当且仅当   即 

20. 解：

（1）

或

（2）由（1）或0

∴

    ∴

∴

∵    ∴     ∴

∴     ∴

21. 解：

（1）

（2）

（3）

22. 解：

（1）

① ，

② ，设

令，

∴     

③ ，令，

       

（2）当时，    ∵

     ∴