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在做除法的时候，不要忙于开始计算，应该先分析一下被除数的特征，以判断它能否被除数整除。 代数的方法能使这个分析的过程轻松进行。能被2、3、4、5、6、7、8、9、10整除的数都有哪些特征，这已经是常识了，我们没必要在这里进行分析，我们要分析的是能被11整除的数所具备的特征，这无疑是非常实用的。 假设N是一个多位数，它的个位数是a，十位数是b，百位数是c，千位数是d，依次类推。则可以用来表示这个多位数N的算式为：
省略号所代表的是N这个多位数后面未写出的各个位数的和。 现在我们从这个代表的算式中减掉一个能被11整除的数：
得到的差数就是：
如果我们分别计算两个除法——即用刚刚得到的这个差数除以11，和用N除以11，就会发现二者得到的余数是相等的。 现在我们再用这个差数加上一个能被11整除的数：
得到的和就是：
用这个和除以11得到的余数，也与前者相同。 接下来我们再从这所得的数中减去一个能被11整除的数：
就这样一直继续下去，会得到：
用这个数除以11所得的余数，仍与用N除以11得到的余数相等。 所以我们可以给所有能被11整除的数总结出如下特征：当一个数所有奇数位上的数字和与所有偶数位上的数字和之差为0或11的倍数（正负均可）时，这个数能被11整除。如果这个差既不是0也不是11的倍数，则该数不能被11整除。 我们来随便写个数字，比如87635064，看看它是否具有这一特征： 奇数位上的数字之和：8+6+5+6=25 偶数位上的数字之和：7+3+0+4=14 二者之差：25-14=11 11能被11整除，因此87635064可以被11整除。 除此而外，能被11整除的数还有另外一个特征，这会使那些数位并不多的数更方便判断一些： 将被除数从右向左，按每两位数一节的规则进行分节，然后把每一节上的数都加在一起，如果得数能被11整除，则这个被除数就能被11整除，如果不能，结论就正好相反。 现在我们选一个数来验证一下，比如528。将528从右向左每两个数位分为一节，一共可分为两节，即（5|28），将这两个节上的数相加可得：5+28=33。33能被11整除，所以528可以被11除尽。 那么用这种判断方法是否一定正确呢？我们来证明一下。 将多位数N从右向左按两个数位或者一个数位[5]进行分节，并将每一节上的数分别用a、b、c……来表示，则可将N写为：
从这个数中减去一个能被11整除的数：
得到的差数为：
用这个差数除以11得到的余数，与N除以11后得到的余数相等。 接下来用这个差数再减去一个能被11整除的数：
……就这样一直计算下去，最后得到的a+b+c+……除以11得到的余数，仍旧与N除以11所得的余数一模一样。（俄.别莱利曼） |
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