聊一聊数学建模

数学模型是使用数学概念和语言对系统的描述。开发数学模型的过程称为数学建模。

数学模型用于自然科学（如物理学、生物学、地球科学、化学）和工程学科（如计算机科学、电气工程）以及非物理系统如社会科学（如经济学） ,心理学、社会学、政治学）。使用数学模型来解决商业或军事行动中的问题是运筹学领域的重要组成部分。数学模型也用于音乐、语言学和哲学（例如，大量用于分析哲学）。

模型可能有助于解释系统并研究不同组件的影响，并预测行为。

数学模型的元素

数学模型可以采用多种形式，包括动力系统、统计模型、微分方程或博弈论模型。这些和其他类型的模型可以重叠，给定的模型涉及各种抽象结构。通常，数学模型可以包括逻辑模型。在许多情况下，科学领域的质量取决于在理论方面开发的数学模型与可重复实验结果的一致性程度。随着更好的理论的发展，理论数学模型和实验测量之间缺乏一致性通常会导致重要的进步。

数学模型分类

数学模型有不同的类型：

• 线性与非线性：如果一个数学模型中的所有算子都表现出线性，则生成的数学模型被定义为线性。否则模型被认为是非线性的。
  线性结构意味着可以将问题分解为更简单的部分，这些部分可以独立处理和/或以不同的规模进行分析，并且在重新组合和重新调整时，获得的结果对于初始问题仍然有效。
  非线性，即使在相当简单的系统中，也经常与混沌和不可逆等现象相关联. 尽管有例外，但非线性系统和模型往往比线性系统和模型更难研究。非线性问题的一种常见方法是线性化，但如果试图研究与非线性密切相关的不可逆性等方面，这可能会出现问题。
• 静态与动态：动态模型考虑系统状态的时间相关变化，而静态（或稳态）模型计算平衡状态的系统，因此是时间不变的。动态模型通常由微分方程或差分方程表示。
• 显式与隐式：如果整个模型的所有输入参数都是已知的，并且输出参数可以通过有限系列的计算来计算，则称该模型是显式的。但有时已知的是输出参数，相应的输入必须通过迭代过程求​解，例如牛顿法或布罗伊登法。在这种情况下，模型被称为是隐式的。例如，在给定设计热力循环的情况下，可以明确计算喷气发动机的物理特性，例如涡轮和喷嘴喉部区域（空气和燃料的流量、压力和温度）在特定的飞行条件和功率设置下，但发动机在其他飞行条件和功率设置下的运行周期不能从恒定的物理特性明确计算。
• 离散与连续：离散模型将对象视为离散的，例如分子模型中的粒子或统计模型中的状态；而连续模型则以连续的方式表示对象，例如管道流动中的流体速度场、固体中的温度和应力，以及由于点电荷而在整个模型中连续施加的电场。
• 确定性与概率（随机）：确定性模型是这样一种模型，其中每组变量状态都由模型中的参数和这些变量的先前状态集唯一确定；因此，对于给定的一组初始条件，确定性模型总是以相同的方式执行。相反，在随机模型（通常称为“统计模型”）中，存在随机性，并且变量状态不是由唯一值描述的，而是由概率分布描述的。
• 演绎、归纳： 演绎模型是一种基于理论的逻辑结构。归纳模型源于经验发现和对其的概括。浮动模型既不依赖于理论也不依赖于观察，而仅仅是对预期结构的调用。数学在经济学之外的社会科学中的应用一直被批评为没有根据的模型。
• 博弈论中使用的战略与非战略模型在某种意义上是不同的，它们对具有不相容激励的代理进行建模，例如拍卖中的竞争物种或投标人。战略模型假设参与者是自主决策者，他们理性地选择最大化其目标函数的行动。使用战略模型的一个关键挑战是定义和计算解决方案概念，例如纳什均衡。战略模型的一个有趣特性是它们将游戏规则的推理与玩家行为的推理分开。

数学建模复杂性

通常，模型复杂性涉及模型的简单性和准确性之间的权衡。奥卡姆剃刀是一个与建模特别相关的原则，其基本思想是在预测能力大致相等的模型中，最简单的模型是最理想的。虽然增加的复杂性通常会提高模型的真实性，但它会使模型难以理解和分析，并且还会带来计算问题，包括数值不稳定性。Thomas Kuhn认为，随着科学的进步，在范式转变提供彻底的简化之前，解释往往会变得更加复杂。

请注意，更好的准确性并不一定意味着更好的模型。统计模型容易过度拟合，这意味着模型对数据的拟合过多，失去了泛化到以前未观察到的新事件的能力。

哲学考虑

许多类型的建模隐含地涉及有关因果关系的声明。这通常（但不总是）适用于涉及微分方程的模型。由于建模的目的是增加我们对世界的理解，因此模型的有效性不仅取决于它对经验观察的拟合，还取决于它推断模型中最初描述的情况或数据之外的情况或数据的能力。可以将其视为定性预测和定量预测之间的区别。人们也可以争辩说，一个模型是毫无价值的，除非它提供的洞察力超出了对正在研究的现象的直接调查已知的洞察力。

在自然科学中的意义

数学模型在自然科学中非常重要，特别是在物理学中。物理理论几乎总是使用数学模型来表达。

纵观历史，已经开发出越来越精确的数学模型。牛顿定律准确地描述了许多日常现象，但在一定限度内必须使用 相对论和量子力学。

在物理学中使用理想化模型来简化事情是很常见的。无质量绳索、点粒子、理想气体和盒子中的粒子是物理学中使用的许多简化模型之一。物理定律用简单的方程表示，例如牛顿定律、麦克斯韦方程和薛定谔方程。这些定律是建立真实情况的数学模型的基础。许多实际情况非常复杂，因此在计算机上进行了近似建模，计算上可行的模型是由基本定律或由基本定律制成的近似模型制成的。例如，分子可以通过分子轨道建模是薛定谔方程的近似解的模型。在工程中，物理模型通常是通过有限元分析等数学方法制作的。

不同的数学模型使用不同的几何形状，这些几何形状不一定是对宇宙几何形状的准确描述。欧几里得几何在经典物理学中被广泛使用，而狭义相对论和广义相对论是使用非欧几里得 几何的理论的例子。