【原】这道题为出题人平冤，2022年高考数学全国卷I，我们误会出题人了

今年高考数学真的很难吗？老实说，是难，但没有那么困难！一片哀鸿真的让老黄很看不懂！当然，这里面肯定有些题比较难，整张卷子对大部分考生来说，难或偏难，难道不正常吗？看看下面这道题，你会发现，出题人已经足够手下留情了，如果不手下留情，哭鼻子的考生又不知道要多多少呢。不服看题目分析：

写出与圆x^2+y^2=1和(x-3)^2+(y-4)^2=16都相切的一条直线的方程_____________.

分析：这道题你一定要画草图，不画草图你会错过最简单的方法和最简单的答案。

从图中一眼就可以认出一条符合条件，与两圆同时相切的直线x=-1. 这么简单，你还喊难吗？就算一眼还看不出来。通过求两圆的圆心距，发现这个圆心距就等于两圆的半径和，也可以猜想到两圆相切，且过这个切点的切线，并不难求。

先求过圆心的直线方程为：y=4x/3。由于切线和这条直线垂直，所以可以设这条切线的方程为：y=-3x/4+b。接下来有很多种求b的方法，你爱怎么求就怎么求，各种方法都相当简单。老黄推荐利用相似三角形边的比例关系，很容易得到b/r1=5/4，r1是单位圆的半径。就可以得到：b=5/4. 

因此符合条件，与两圆同时要切的第二条直线是y=-3x/4+5/4. 就这么简单的事情，出题人也没有非要求你做不可。你说出题人是不是手下留情了啊。

假如出题人要求把第三条切线的方程都写出来，那才叫灾难呢。不过是不是出题人没有要求，我们就不用做了啊？高考考场上是这样的，但如果平时学习都不做，那到了高考考场，也就剩下流泪的份了。

第三条切线，不论怎么求，都不会很简单的。老黄这里选择先求上图中虚线直线的斜率，因为这条虚线和第三条切线互相平行，因此求得的斜率，也是切线的斜率。

可设虚线的直线方程为：y=kx, 则图中与之垂直且过大圆圆心的直线方程可设为y-4=-(x-3)/k.

求两条直线相交时，即kx-4=-(x-3)/k的解，得到x=(4k+3)/(k^2+1), y=k(4k+3)/(k^2+1).

由虚线，圆心距所在直线以及大圆的半径围成的直角三角形的勾股定理，可列得：

(4k+3)^2/(k^2+1)^2+(4k^2+3k)^2/(k^2+1)^2=16, 并解得k=7/24.

现在就可以设第三条切线的方程为：x=7x/24+b，那么列这条切线与单位圆相交的方程：

x^2+(7x/24+b)^2=1，即625x^2/576+7bx/12+b^2-1=0，其判别式为0，即：

49b^2/144-625(b^2-1)/144=0, 解得：b=-25/24或b=25/24(舍去),

从而得到第三条切线的方程为：y=7x/24-25/24.

综上，两个圆共同的切线有：x=-1，y=-3x/4+5/4和y=7x/24-25/24，共三条。而出题人只要求写出最简单或者次简单的一条。你说出题人是不是很仁慈啊！

其实关于考题难不难，出题人坏不坏，我觉得讨论这样的问题没有什么实际意义。后面的考生一定要加强训练，努力学习，争取掌握更多的知识，才是正道，您说呢！