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老黄怀着敬畏的心情，打开2022年全国高考数学理科卷，直奔压轴题而去。这是一道不等式问题，属于选修4-5，不等式选讲的内容。通常这类问题都是很难的，类似题型曾经在2008年江西高考数学卷中诞生了号称高考数学史上最难的压轴题，至今老黄还没有想到如何用自己的方法去解决它。因此老黄是做好打持久战的准备来面对这道高考理数不等式压轴题的。 但是没想到，老黄只用了不到一分钟，就找到解决问题的思路，又用了一分多钟，就把它解决了。不由得老黄有点怀疑自己是不是哪里弄错了，怎么有简单到两分钟就可以搞定的高考数学理科压轴题呢？简单让人瞠目结舌。因为这道题竟然只运用到解决不等式问题最常规的武器“均值不等式”。最多就是从两个数值的均值不等式，延伸到三个数值的均值不等式，毫无难度可言。题目是这样的： 已知a,b,c都是正数，且a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2)=1, 证明： (1)abc≤1/9；(2)a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≤1/(2根号(abc)). 因为题目实在太容易，老黄就不急着讲了。先给大家分析一下解决这类不等式压轴题，通常使用的三类常规武器。 1、就是均值不等式a^2+b^2>=2ab，或者它的变形形式a+b>2根号(ab)，其中a,b都是正数。需要注意的是，这个不等式是恒成立的，但如果要应用它来求最值，就不一定成立了。因为只有在ab是定值，或者a+b是定值时，才能用它来求最值。 2、构造适当的辅助函数，通过求辅助函数的导数，判断辅助函数的单调性，再利用单调性来证明不等式成立。关键在“适当”这两个字上。对简单的问题，只要造构不等式两侧式子的差为辅助函数，或者两侧式子的商为辅助函数就可以了。但是有很多难题，需要构造特殊的辅助函数，这是最考数学功底的。 3、利用一些常用的不等式。在数学中，有许许多多常用的不等式。所谓常用，那也是相对的。如果您懂的，就是常用的不等式，如果您不懂的，就不是常用的不等式。别人懂得多，常用的不等式就多，就有很大概率可以找到适合解题的已知不等式，来证明要证明的不等式。如果您懂得少，就可能找不到适合的已知不等式来证明。2008年江西高考数学压轴题的最后一问中，难以证明的部分，根据参考答案，就需要用到一个极少人知道的不等式，所以它就成了号称史上最难的高考数学压轴题了。老黄一直想绕开那个不等式，又不超出高中数学的认知范围来证明，却一直没有做到。所以这个方法，最重要的就是对常用不等式的积累，以及检索有用的已知不等式的能力。 当然，解决这类不等式压轴题的统一思路是“放缩”，所以老黄把它归纳为“一种思路，三类武器”。现在就言归正传，来解这道简单的高考理数压轴题： 证明：(1)a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2)≥3倍三次根号(a^(3/2)*b^(3/2)*c^(3/2))=3倍根号(abc), 因此3倍根号(abc)≤1, 从而根号(abc)≤1/3，两边平方得：abc≤1/9. 【第一小题简单很正常，但没想到下面的第二小题同样简单。】 (1)a/(a+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=abc(1/(bc(b+c))+b/(ac(a+c))+c/(ab(a+b))【可能只有这一步稍难点】 ≤abc(1/(2b^(3/2)*c^(3/2))+1/(2a^(3/2)*c^(3/2))+1/(2a^(3/2)*b^(3/2))【这用的全是均值不等可式。以及简单的“分母变小，分数变大”原理】 =abc(a^(3/2)+b^(3/2)+c^(3/2))/(2a^(3/2)*b^(3/2)*c^(3/2))【通分相加，简单的步骤不写出来都合情合理】 =abc/(2a^(3/2)*b^(3/2)*c^(3/2))=1/(2根号(abc)). 这么简单的高考理科数学压轴题，有没有吓到您啊！ |
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