【原】《简谐运动的回复力和能量 》教学

弹簧振子的受力分析：只要振子偏离平衡位置，就会受到一个指向平衡位置的力，偏得越厉害，这个力越大，将此力命名为回复力。结合胡克定律：可得这个回复力的表达式为：F=-kx。符号的涵义应特别注意，这个式子是一个矢量表达式，振子受到的回复力总跟位移的方向相反。

从回复力角度给简谐运动又下了一个定义。F=-kx回复力满足这个特点，这种运动就是简谐运动。

教材上关于回复力的描述到此为止。

现在和上节内容及以前学过的内容联系一下。上一节这个式子：

x＝Asin（ωt＋φ）和以前学过的x=vt；x=v₀t+at²/2，有本质区别吗？就是数学函数表达式不一样，都表示位移时间的函数关系。

x=vt，将x对时间求两次导就是加速度，可得加速度为零，据牛顿第二定律可得物体所受合力为零。

x=v₀t+at²/2，将x对时间求两次导就是加速度，可得加速度为a，据牛顿第二定律可得物体所受合力为ma，a恒定，所以物体所受的合力恒定。

x＝Asin（ωt＋φ），将x对时间求两次导就是加速度，可得加速度为a=-ω²x，据牛顿第二定律可得物体所受合力为F=-mω²x，，所以物体所受的合力大小与位移大小成正比，与位移方向相反。与F=-kx对比，k=mω²，ω=2π/T，可推导得：，振子质量越大，周期越大；弹簧劲度系数越大，周期越小。从运动学特点，结合数学知识和牛顿运动定律，可以推导出受力特点。与从实际受力分析的结论保持一致。

从数学求导的运算中还可得知：位移与时间为正弦函数的情况下，振子的速度、回复力都与时间成正弦函数关系，只不过相位不同。

下面从能量角度分析弹簧振子。从平衡位置向最大位移处运动时，振子的速度减小，弹簧的弹性势能增大，理想情况下，没有其他形式的能量参与转化，对弹簧振子来说，系统的机械能守恒。

理论上可以试着分析一下：

对x＝Asin（ωt＋φ）求导

可得v=Aωcos（ωt＋φ）、

两式对比，位移增大时，速度减小。

振子的动能E_k=mv²/2,带入速度表达式得：

E_k=mA²ω²cos²（ωt＋φ）/2

x的大小恰好为弹簧振子的形变量，可得弹簧的弹性势能为E_p=kx²/2，带入x表达式可得：

E_p=kA²sin²（ωt＋φ）/2

上边得出：k=mω²，E_k+E_p=kA²/2，这个式子要仔细看一下，就会发现恰好是振子到了最大位移处时弹簧的最大弹性势能，此时振子的动能为零，全部机械能表现为弹簧的势能。同时可发现kA²/2=mA²ω²/2，mA²ω²/2这一项恰好为振子处于平衡位置时振子的动能，此时弹簧的弹性势能为零。

E_k+E_p=kA²/2=mA²ω²/2，弹簧振子在任意时刻的动能和势能总和不变，总等于最大弹性势能或最大动能。

掌握了求导这个数学工具，能用积分求解变力做功，本节的内容就可从理论上进行推导，定性的分析就可转化为定量的计算。

将数学的微积分和高中物理简单结合一下，可以帮助理解好多概念和规律，许多定性的问题就可转化为定量问题。