【原】计算 i^i 及其他

图1. 遇见数学公众号上的视频截屏

遇见数学公众号发了一个视频“ 的结果是什么？”，它是围绕欧拉公式 讨论的。我们都知道，。而 。这个视频就是把这两个事实结合起来得到 。它大约等于 。

这个视频很有意思。我本来期待他能做一点展开，但对于一个七分半钟的视频，我们确实不能太过强求。

在大家看完视频之后，我想问一句，通过这么个视频，你只收获了这样一个小题目吗？有没有想到，我们还能挖出什么有意思的问题来？比如，你有没有想过， ,，或者 。今天我们就考虑这样的几个问题。

面对 这样的问题，我们还容易想到更高的幂。如果我们记 , , ，我们会得到一个什么样的序列？显然，我们不会总是得到实数。比如， 。如果你能打开Google网页，在搜寻框里输入 i^i^i 就可以得到这个结果。依次类推，有 ， ...... 但我们似乎看不出有什么美妙的结果。

图2. 点 的位置

为了得到更多的点，让我们采用美国应用数学家John Cook写的一段Python程序：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 100
z = np.empty(N, dtype=complex)
z[0] = 1j
for k in range(1, N):
    z[k] = 1j**z[k-1]

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(z.real, z.imag, '.')
ax.set_aspect(1)
ax.set_xlabel("$x$")
ax.set_ylabel("$y$")
plt.savefig("temp.png")

得到的图像就是下图：

图3. 序列 的图像

看上去，这上面有三条螺线，但它只是由一个单一的序列生成。这其实就是实数与复数的一个本质区别。为了看出这个单一序列 的走向，让我们把上面的程序稍作修改。将“ax.plot”那一行中最后的“.”换成“-”并重新运行。得到的就是：

图4. 连接起来的序列 的图像

从图4，我们可以期待这个序列有一个极限值 。读者可以修改上面的程序来找到它的近似值。它大约是 。

有人可能会问，这个数太普通了，有没有什么简单的表达式？答案：“是”也“不是”。这里需要谈到乘积对数函数（Lambert W function）。所谓乘积对数函数，也称作朗伯W函数或欧米加函数。它是 的反函数。在实数轴上， 的定义域是 ，值域是 。所以，乘积对数函数 的定义域是 ，值域是 。这个函数被称为乘积对数函数是因为它有许多性质与对数函数类似。关于这个函数应该专门写一篇。有人想写吗？这里我们需要的就是一条性质：。记 。那么显然 。两边取自然对数，得 。为了得到 函数得形式，我们可以做一些代数变换，得到

对上式得两边取 函数，

由此

关于 函数，我们可以在网上得到它的值。比如Wolfram Alpha就可以用。我们看到，虽然我们得到了 的一个表达式，但这个式子并没有太大的帮助。不过我们还是学到了点东西。不是吗？

从一段7分半钟的视频，我们可以学到更多的东西。如果大家觉得这篇短文能帮助自己学到点什么，那么本文达到了目的。最后我把前面没有回答的问题留给读者，然后给朋友们再出两道题：

题1. 计算 。答案是：.

题2. 计算 。答案是：.

References:

• 视频 | i^i 的结果是什么？

• John Cook, i^i^i

• Lambert W-Function

• Lambert W function