【原】小学奥数知识点 ——方阵的基本特点

（一）长方体和正方体的特征

形体	面		顶点	棱		关系
长方体	6个	相对面完全相同，至少4个面是长方形	8个	12 条	相对的4条棱长度相等	正方体 是特殊 的长方 体
正方体	6个	6个面完全相同，都是正方形	8个	12 条	12条棱长度都相等

（二）长方体和正方体的棱长总和

（三）长方体和正方体的表面积

1.概念：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它们的表面积。

2.计算公式：

重点提示：不足6个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸盒等。

（四）长方体和正方体的体积、容积

1.长方体和正方体的体积、容积比较

		体积	容积
不同点	意义不同	物体所占空间的大小叫做物体的体积。	物体所能容纳的体积，叫做这个容器的容积。
	测量方法不同	求物体的体积要从该物体的外部来测量长、宽、高。	求物体的容积要从容器的内部来测量长、宽、高。
	单位名称不完全相同	体积单位一般用：立方米、立方分米、立方厘米。	容积一般用体积单位。盛放液体的容器，容积也常用升或毫升来表示。
相同点	计算公式相同	长方体体积（容积）公式=长×宽×高 或 正方体体积（容积）公式=棱长×棱长×棱长 或  长方体和正方体的体积（容积）=底面积×高 或
重点提示	1.  有的物体既有体积，也有容积。如箱子、油桶等。 2.  有的物体有体积却没有容积。如：石头、木头这些实心的物体。 3.  既有体积也有容积的物体，它的体积一定比容积大。只有把容器的厚度忽略不计，容积才可看作与体积相等。

2.体积（容积）单位进率换算：

1立方米=1000立方分米        

1立方分米=1000立方厘米

1升=1000毫升               

1立方分米=1升    

1立方厘米=1毫升

奥数练习题

【题目1】：

一个长方体和一个正方体的棱长之和相等。已知长方体的长是6分米，宽是4分米，高是2分米，求正方体的表面积和体积？

【解析】：

要求出正方体的表面积和体积，必须先求出正方体的棱长。

长方体有12条棱分为3组：4条长、4条宽、4条高；正方体有12条棱，每条棱的长度都相等。

设这个正方体的棱长为x分米，根据题意，可以列出方程：

12x=（6＋4＋2）×4

解得：x﹦4

正方体的棱长为4分米。

所以正方体的表面积为：42×6﹦96（平方分米）。

正方体的体积为：43﹦64（立方分米）。

【题目2】：

一块长方形铁片（厚度不计），四个角剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮盒，可以盛水546升。已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。

【解析】：

546升﹦546立方分米，即焊成的铁皮盒的容积为546立方分米。厚度不计，铁皮盒的容积也就相当于它的体积。

如上图，铁皮盒的体积为546立方分米，铁片盒的高为2.8分米，铁皮盒底面的长为：21.2－2.8×2﹦15.6（分米）。

所以，铁皮盒底面的宽为：546÷2.8÷15.6﹦12.5（分米）。

则铁皮原来的宽为：12.5＋2.8×2﹦18.1（分米）。

由长方形铁皮原来的长、宽，可以求出它的面积为：

21.2×18.1﹦383.72（平方分米）。

【题目3】：

一个长方体，如果从它的高度方向锯掉3厘米的一段，正好得到一个正方体，但表面积减少了72平方厘米，原来长方体的体积是多少？

【解析】：

如下图：

从长方体高度方向锯掉3厘米的一段，表面积减少部分就是高3厘米的长方体的四个侧面和一个上面，同时表面积又增加了一个切面，切面面积正好与原长方体上面的面积相等，互相抵消。因此，剩下正方体表面积比原长方体表面积减少的72平方厘米，就是高3厘米的长方体的侧面积。

所以长方体的底面周长为：72÷3﹦24（厘米）。

剩下部分是个正方体，即长方体底面是正方形，所以长方体的底面边长即所得正方体的棱长为：24÷4﹦6（厘米）。

所以原长方体的体积为：

6×6×（6＋3）﹦324（立方厘米）。

【题目4】：

如图，一个正方体切去一个长方体后，剩下图形的体积和表面积各是多少？（长度单位：厘米）

【解析】：

原正方体棱长为8厘米。

在原正方体的一个角上切去一个长方体，表面积减少部分相当于切去长方体的3个面，表面积新增加了三个面恰好是相对的长方体的另外3个面，减少部分和增加部分抵消了，因此剩下图形的表面积就等于原正方体的表面积：

8×8×6﹦438（平方厘米）。

剩下图形的体积为：

8×8×8－2.5×2.5×4﹦487（立方厘米）。

【题目5】：

一个长方体水箱，长30厘米，宽42厘米，水箱里装着水，并有一个长21厘米，宽15厘米的小长方体铁块完全浸没在水中，当把水中的铁块取出后，水面下降了1厘米，铁块的高是多少厘米？

【解析】：

把水中的铁块取出后，水箱里的水的总体积减少部分即下降的水的体积，就等于铁块的体积：

30×42×1﹦1260（立方厘米）。

根据铁块的体积和长、宽，可以求出铁块的高为：

1260÷21÷15﹦4（厘米）。

【题目6】：

把一个长8分米，宽6分米，高5分米的长方体木块，锯成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是多少？体积是多少？

【解析】：

长方体锯成一个最大的正方体，则这个正方体的棱长等于长方体的最短的棱长，即正方体的棱长是5分米，利用正方体的表面积计算公式S=6a2和体积计算公式V=a3即可解答．

解：长方体锯成一个最大的正方体，则这个正方体的棱长等于长方体的最短的棱长，即正方体的棱长是5分米，
5×5×6=150（平方分米）
5×5×5=125（立方分米）
答：这个正方体的表面积是150平方分米，体积是125立方分米．