 一筐鸡蛋： 1个1个拿，正好拿完。 2个2个拿，还剩1个。 3个3个拿，正好拿完。 4个4个拿，还剩1个。 5个5个拿，还差1个。 6个6个拿，还剩3个。 7个7个拿，正好拿完。 8个8个拿，还剩1个。 9个9个拿，正好拿完。 问筐里有多少鸡蛋？ 这题目看似繁琐，其实so easy。题目中从1到9挨个捋了一遍，可以认为是条件1～9。所谓“拿完”，就是整除，“还剩几个”就是余数为几。注意，条件5是“差1个”，相当于“剩4个”。
条件1，有毛用？也不能说无用，像上图这情况，1个1个拿，你就拿不完，还剩半个…… 条件2，说明总数为奇数。这一条是冗余的，因为满足条件3的就不可能是偶数。然而条件3也不必要，因满足条件6和9必然能被3整除。条件4亦被更苛刻的条件8所涵盖。 因此，只有条件5、6、7、8和9才是有用的信息。条件7和条件9说明总数可同时被7和9整除，则总数应为7和9之最小公倍数63的倍数。 又由条件5可知，总数的个位数必为9（说也可能是4的自行掌嘴），而个位数为9的数也必满足条件5。63乘以什么数才能得到个位数为9的积呢？只能是个位为3的数，如3、13、23等。此时可以看出，条件6自然地满足了，因为63的倍数若为奇数，则必然除以6余3。
从3开始逐个试算，只验证结果是否满足条件8即可。63乘以3得189，63乘以13得819，均不满足条件；乘以23得1449，搞掂。通解可表示为1449+2520k（k为任意非负整数），其中2520是1~9的最小公倍数（即5、7、8和9的积，四个数两两互质，因此乘积即最小公倍数）。 相似但更简单的问题，早在《孙子算经》中就有提及，称之为“物不知数”：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 答曰二十三。其实应该说最少二十三。《孙子算经》中也给出了所谓“解法”，但其思路如天外飞仙，让人如坠雾霾，而南宋数学家秦九韶则在《数术九章》中予以扩充论述，提出了“大衍求一术”，比较完美地解决了此类问题。但杀鸡焉用牛刀，我是这么算的： 由“三三数之剩二”和“七七数之剩二”可知，总数若减去2，则为3和7的公倍数，而3和7最小公倍数是21，先假定总数为23。显然恰好也满足“五五数之剩三”。得解。通解可表示为23＋105k（k为任意非负整数，105为3、5和7的最小公倍数）。 上面这两个题目，均涉及到整数的整除和余数，用现代数学语言来表述，就是求解一元线性同余方程组。初等数论中有一个与之相关的重要定理，被称为“中国剩余定理”或“孙子定理”，该定理给出了以下方程组有解的判定条件，以及在有解情况下求解的方法：
当然，像这种玩意儿，摆出来撑撑场面也就行了，若想深入了解，请参阅陈景润著《初等数论》（说的我好像看过一样），我只能帮你到这里。 |
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