【原】抛物线的通径是什么？用它可以简便解决这道高考数学题

这是2022年高考数学全国乙卷一道关于抛物线的选择题，是全卷的第5道选择题。题目很简单。但是这个位置上的题目简单点是很正常的。关键是要用比较适合的方法，以最快的速度、最准确地解决它。因此老黄下面提供了三种解法。看看哪一种你更喜欢。

设F为抛物线C：y^2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=

A. 2; B. 2根号2; C. 3; D. 3根号2

方法1：首先要明确焦点的坐标是F(1,0)，然后记A点的坐标为(a^2/4,a).

由|AF|=|BF|=2，就有(a^2/4-1)^2+a^2=4，这个方程看似四次方程，其实只是二次方程，是关于a^2的二次方程，化为一般式是：a^4/16+a^2/2-3=0，或a^4+8a^2-48=0. 就可以解得a^2=4或a^2=-12(舍去).

从而得到A的两个坐标，分别是(1,2)和(1,-2). 用两点的距离公式就可以求得|AB|=根号(2^2+2^2)=2根号2. 选B。这种方法当然不是最简便的，但是它胜在直接，不需要过多动脑筋，基础知识掌握好，就能解决了！

方法2：可以想象到，点A是以F为圆心，BF为半径的圆，与抛物线的交点，这样的交点是有两个的。因为|BF|=2, F(1,0)，所以这个圆的标准方程是：(x-1)^2+y^2=4.

可以列得圆和抛物线的交点方程为：(x-1)^2+4x+4=0，化为一般式：x^2+2x-3=0.求得: x=1或x=-3(舍去). x不可能是负数.

当x=1时，求得y=2或-2，也可以得到A的两个坐标，分别是(1,2)和(1,-2). 与方法1同理求得|AB|=2倍根号2.

这种方法，或许比方法1简便了一点点，但其实也没有那么简便，还有点伤脑筋。

方法3：需要涉及到抛物线的一个相关概念，叫做“通径”。就是过焦点与对称轴垂直的直线，与抛物线两个交点间的距离。通径的长是有公式的，老黄现场推导一下。由于抛物线y^2=2px的焦点坐标是(p/2,0)，因此，通径的两个端点的纵坐标分别是y1=p，y2=-p. 所以通径的长为|y1-y2|=2p. 而这里的p=2，所以通径的长等于4. 其实通径长的公式挺好记的，就是y^2=2px中的系数“2p”.

老黄以前分析过抛物线开口大小的问题。还在想为什么没有表示抛物线开口大小的量或公式呢。原来只是老黄孤陋寡闻，其实是有的，这个量就是通径。对于抛物线的一般式y=ax^2+bx+c, 通径的长度就是|1/a|.

那有了这个通径的长，有什么用呢？结合下面的图像，你就可以轻松地发现，AB就是等腰直角三角形ABF的斜边，因此，|AB|=根号2 BF=2根号2.

方法3当然是最简便的。只要掌握了相关知识，也没有那么伤脑筋。不要被老黄上面啰里啰嗦讲了一大堆给迷惑了，那只是老黄自己啥也不懂造成的。

这也给了我们一个启发：平时积累的知识量大了，高考考场上，就会有更多简便的方法可供选择。老铁，您怎么看呢？