折射定律

定律定义

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光从一种介质射向另一种介质的平滑界面时，一部分光被界面反射，另一部分光透过界面在另一种介质中折射，折射光线服从折射定律：折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比，即

光的折射定律

式中

是比例的常数，称为第二介质对第一介质的相对折射率。

数学推导

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光的折射定律可由惠更斯原理推导。

光的折射定律

如右图，一束光线a首先于时刻t由介质1到达界面。光线a进入介质2后，又经过时间Δt，光线b也到达界面。这时A、B两点发出的子波的波面如图中两小段圆弧所示，他们的包络面为图中的CD，这是波进入介质2之后的新的波面。由于是两种介质，波面的半径不同。从A点发出的波半径为

，其中v是介质2中的光速。而从B点发出的波半径为

，其中v是介质1中的光速。

从三角形ABC和ADC，可得出

两式相除可得

即

适用范围

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该式进一步给出了折射率n与两边介质中的光速v和v之间的关系．该定律同样适用于声波和无线电波．

1.折射光线与入射光线和法线在同一平面内。

2.折射光线与入射光线分居法线两侧。

3.当光从光疏介质斜射入光密介质中时，折射角小于入射角。

4.当光从光密介质中斜射入光疏介质时，折射角大于入射角。

5.当入射角增大时，折射角也随着增大。

6.当光线垂直射向介质表面时，传播方向不改变。

发展简史

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托勒密

公元二世纪，希腊人托勒密（90—168）通过实验研究了光的折射现象。

1．实验设计：托勒密的实验设计如图所示：在一个圆盘上装上两把能绕盘中心S旋转的中间可以活动的尺子．将圆盘面垂直立于水中，水面到达圆心处。

2．实验方法：实验时转动两把尺子使之分别与入射光线和折射光线重合。然后把圆盘取出，分别按照尺的位置测出入射角和折射角。

3．实验结果：托勒密通过上述的方法测得从空气中射入水中的光线折射时的一系列对应值为：

4．数据分析：托勒密通过分析以上数据，得出结论：折射角和入射角是成正比关系。今天我们知道这个结论是不正确的，它只有在入射角很小的情况下才近似成立。

5．留给我们的沉思：从托勒密的实验设计实验方法到实验数据的收集可以说是完全正确的．他的实验结果也是相当精确的，与现代值几乎没有多大的差别。但是托勒密可惜的是未能从正确的数据中发现正确的规律，从这里可看出对实验数据正确处理，加上正确理论的指导在发现规律中的重要性。托勒密是第一个用实验方法测定入射角和折射角的人，他曾求出具有单位半径的圆中弧与所对应的弦长数字，并巧妙地用数学方法编制了表（相当于现代的正弦三角函数表），他当时对折射角和入射角的测量是相当精确的，如果他当时把关于光折射的实验数据与他所编制的这份表作一比较的话，他就会不难发现入射角的正弦与折射角的正弦之比对给定的两种介质来说是一个常数，这样他就会发现折射定律，然而他却没有这样做，以致错过了一次发现的机会。

开普勒对折射规律的修正

德国人开普勒在汇集前人光学知识的基础上，断定托勒密关于折射规律的结论是不正确的．于是他开始便想通过实验发现折射定律，但实验最后没有成功．他便转向从理论上加以探索．他得出的折射定律是：折射角由两部分组成，一部分正比于入射角，另一部分正比于入射角的正割；只有在入射角小于

时，入射角和折射角成正比的关系才成立，显然，开普勒关于折射定律的研究和修正比托勒密前进了一步．但还没能给出正确的折射定律。

斯涅耳发现折射定律

荷兰数学家威里布里德·斯涅耳（1591—1626）于1620年前后，通过实验确立了开普勒想发现而没有能够发现的折射定律．他注意研究了水中的物体看起来像飘浮的现象，做了如下实验：当在空气中的0点观察水中的A点时，犹如在B点一样，如图(A)所示．斯涅耳发现，对于任意入射角存在以下关系(B)图所示，斯涅耳没有用理论推导，而是用实验又验证了它。斯涅耳对折射定律作了如下表述：在不相同的介质里，入射角和折射角的余割之比总是保持相同的值。由于余割和正弦成反比，所以这个叙述等价于现代折射定律的表达式。

笛卡儿进一步完善了光的折射定律

法国人笛卡儿，他以媒质中球的运动作类比，试图说明折射定律．如图所示，假设球在媒质Ⅰ中运动，当进入媒质Ⅱ时，球速的水平分量不变，垂直部分增大，Ⅱ中的光速变成Ⅰ中光速的u倍．其结果球在媒质Ⅱ内部偏转，而所需时间仅为通过媒质Ⅰ中所需时间的

．因此根据几何关系，可得在这段时间内，球在水平方向前进的距离BE等于

．所以式中i为入射角，r为折射角。

笛卡儿第一次给出了折射定律的现代表述形式。

费马对折射定律的发展与理论论证

法国人费马（1601—1665）从理论上得到费马原理，并用演绎方法从费马原理中推导出折射定律。

1．费马从理论上得到费马原理．费马从理论上推导出：光沿着光程为极值的路径传播．设某空间介质的折射率连续变化，光由A点传播到B点就必循一曲线，如图所示它的总光程为根据变分法原理，光程为极值的条件为此式即为费马原理的数学表达式．由费马原理可以推导出反射定律和折射定律，并可证明它们的光程为极值。

2．费马用演绎方法导出折射定律

费马在前人发现折射定律的基础上对光的折射定律又有了新的发展．费马认为，导出折射定律可以采取另一种截然不同的思考方法．他假定不同媒质对光的传播表现出不同的阻力，他首先指出，光在不同媒质中传播时，所走路程取极值，即遵从费马原理．即是说，光从空间的一点到另一点，是沿着光程为极值（最小、最大或常量）的路程传播的．借助于光程这个概念可将光在媒质中所走过的路程折算为光在真空中通过的路程，这样便于比较光在不同媒质中所走路程的长短．1661年费马运用费马原理成功地导出了折射定律．

定律影响

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光的折射定律与光的反射定律一起，构成了几何光学的两大支柱，在光学的发展史有重要的影响。

相关解释

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用费马原理解释

费马原理又称为“最短时间原理”  ：光线传播的路径是需时最少的路径。费马原理更正确的版本应是“平稳时间原理”。对于某些状况，光线传播的路径所需的时间可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，对于平面镜，任意两点的反射路径光程是最小值；对于半椭圆形镜子，其两个焦点的光线反射路径不是唯一的，光程都一样，是最大值，也是最小值；对于半圆形镜子，其两个端点Q、P的反射路径光程是最大值；又如最右图所示，对于由四分之一圆形镜与平面镜组合而成的镜子，同样这两个点Q、P的反射路径的光程是拐值。

假设，介质1、介质2的折射率分别为

，光线从介质1在点O传播进入介质2，

为入射角，

为折射角。

从费马原理，可以推导出斯涅尔定律。通过设定光程对于时间的导数为零，可以找到“平稳路径”，这就是光线传播的路径。光线在介质1与介质2的传播速度分别为

，

。其中，c为真空光速。

由于介质会减缓光线的速度，折射率

都大于1。

从点Q到点P的传播时间为

。

根据费马原理，光线传播的路径是所需时间为极值的路径，取传播时间T对变量x的导数，并令其为零。经整理后可得

。

将传播速度与折射率的关系式代入，就会得到折射定律：

。

利用光的粒子性解释

假设对某系统整体做一个平移之后，这系统仍旧保持不变，则称此系统具有平移对称性。从平移对称性，可以推导出斯涅尔定律。这是建立于横向均匀界面不能改变横向动量的道理。由于波矢量

因此，

根据折射率的定义式：

，

其中，ω是光波的角频率。

将其带入（1）式，即可得到折射定律：

。

微观至原子尺寸，虽然没有任何界面是完全均匀的，假若精细至光波波长尺寸，传播区域可以估视为均匀，则平移对称性仍不失为优良近似。

利用麦克斯韦电磁场理论解释

几何光学的三条基础定律为：

• 第一定律：入射波、反射波、折射波的波矢量，与界面的法线共同包含于“入射平面”。
• 第二定律：反射角等于入射角。这定律称为“反射定律”。
• 第三定律：这定律称为“斯涅尔定律”，又称为“折射定律”。

由于光波是处于某一特定频段的电磁辐射，因此光必须满足麦克斯韦方程组与伴随的边界条件。其中一条边界条件为，在边界的临近区域，电场平行于边界的分量必须具有连续性。假设边界为xOy平面，则在边界，有

。

其中，

分别为在入射波、反射波、折射波（透射波）的电场平行于边界的分量。

假设入射波是频率为ω的单色平面波，则为了在任意时间满足边界条件，反射波、折射波的频率必定为ω。设

的形式为

其中，

分别是入射波、反射波、折射波的波矢量，

分别是入射波、反射波、折射波的波幅（可能是复值）。

为了在边界任意位置（x，y，0）满足边界条件，相位变化必须一样，必须设定

因此，

不失一般性，假设

，则立刻可以推断第一定律成立，入射波、反射波、折射波的波矢量，与界面的法线共同包含于入射平面。

从波矢量x-分量的相等式，可以得到

。

而在同一介质里，

。所以，第二定律成立，入射角

等于反射角

。

应用折射率的定义式：

，

可以推断第三定律成立：

。

其中，

分别是折射介质的折射率与折射角。

从入射波、反射波、折射波之间的相位关系，就可以推导出几何光学的三条基础定律。