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作者：Lakshmi Chandrasekaran 2021-9-14 译者：zzllrr小乐 2021-9-14
传说中国军队曾经使用数学诡计来隐藏其军队人数。该技术涉及现代数学研究的许多深层领域。 想象一下，你是古代的一名将军，你想对敌人保密你的军队人数。但你也需要自己了解这些信息。所以你转向一个数学技巧，可以让你实现这两个目标。 在晨练中，你要求士兵排成五排。你注意到最后一排只有三个士兵。然后你让它们重新形成八排，最后一排留下七个，然后是九排，最后一排留下两个。你从未计算过所有士兵，但现在你有足够的信息来确定总数，而无需明确说明敌人可以截获的人数。 传说表明中国古代将军实际上采用了这种技术，尽管目前还不清楚他们是否真的这样做了。我们所知道的是，现在被称为数学技术中国剩余定理是公元三世纪和五世纪之间由中国数学家孙子（南北朝时期，译者zzllrr小乐注）（不要与近1000年前写《孙子兵法》的孙武混淆）。 该定理允许你找到一个未知数，前提是你知道它除以某些“成对互质”数时的余数，这意味着它们没有任何共同的质因数。孙子从未正式证明这一点，但后来印度数学家和天文学家 Aryabhata 发展了一个程序来解决定理的任何给定实例。 乔治亚大学的Daniel Litt说：“中国剩余定理为你提供了一个实际的计算方法。” 为了更好地理解定理的工作原理，让我们回到我们的例子。我们的目标是找到一个整数X，除以 5 的余数为 3，除以 8 的余数为 7（稍后我们将添加第三个条件，即除以9的余数为 2）。数学家称之为同余系统，他们这样写： X ≡ 3(mod 5) X ≡ 7(mod 8) 第一个同余的第一个解是 3，因为 5去掉零个3留下余数3。或者，正如数学家所说：3 模 5 是 3。如果我们将 3 增加 5 的倍数，这些和也将满足第一同余。X可以是序列 3、8、13、18、23 等中的任何数字。 但是第二个同余的存在使我们能够改进我们的解。满足这种同余性的数字——除以 8 余数为 7——是 7、15、23、31 等等。现在我们需要找到一个出现在两个数字列表中的数字： 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33 7, 15, 23, 31, 39, 47, 55 我们看到了一个。我们的神秘数字可能是 23。但这不是唯一的可能性。 我们总是可以找到另一个有效的数字，方法是将除数的乘积加上 23 的倍数。我们的除数是 5 和 8。它们的乘积是 40。将 40 加到 23，我们得到 63，这也满足那两个同余式。103、143、183、223 等也是如此。因此，你可以通过在以下公式中为K插入不同的整数，找到每 40 个数字的一个解： X = 23 + 40 × K 但是，满足这些单个同余的最小整数是 23。 但是，如果你是将军，并且根据经验知道你最多有 300 名士兵，那么 23 名、63 名或 103 名可能不够精确。因此，你在前两个同余中添加了第三个同余（再次确保你的新数字与 5 和 8 成对互质）： X ≡ 3(mod 5) X ≡ 7(mod 8) X ≡ 2(mod 9) 满足所有三个同余的神秘数是多少？我们回到满足前两个同余的数字列表：23, 63, 103, 143, 183, 223。当除以 9 时，这些都没有剩下 2。但是，序列中的下一个数字是：263 .如果我们想要更精确，我们可以添加第四个同余——或者我们想要的尽可能多的同余。 “如果除数是成对互质的，这种方法可以推广到多个同余，”卢森堡大学的Antonella Perucca说。 到目前为止，我们一直使用互质的除数。但是如果我们不能选择除数呢？例如，假设我们是天文学家，跟踪轨道周期为 4 年和 10 年的两颗彗星。他们最后一次到达近日点——彗星离太阳最近的点——分别是在 1991 年和 1997 年。我们如何确定下一次它们将在同一年到达近日点？ 中国剩余定理仍然可以帮助我们。当除数不是互质时，我们不使用它们乘积的倍数来确定可能的解，而是使用它们的最小公倍数的倍数。因此，在这种情况下，我们不将 4 和 10 相乘，而是使用它们的最小公倍数：20。 我们现在正在寻找一个神秘的年份X，它满足以下同余系统： X ≡ 1991(mod 4) X ≡ 1997(mod 10) 如果我们遵循我们在前面的例子中使用的相同过程——在这种情况下，将 20 的倍数加到满足两个同余的最小整数（恰好是 7）——我们找到两颗彗星到达近日点的共同年份：2007 年。 这个例子证明了该定理的广泛适用性，使其在天文学、计算古历和为建筑物选择合适尺寸的砖块等实际环境中非常有用（该定理可能有助于中国长城的建造）。1500 多年后，它仍然是解决现代问题的有用方法，包括 RSA 加密，这是保护在线通信的主要安全协议。 但中国剩余定理不仅仅是一个实用的工具。它也是数论的一个基本分支中的运算的基础，称为模算术，这是一种在较小的数系中进行数学运算的方法，就像我们在上面处理的涉及部队和彗星的例子中所做的那样。 数学家一直使用模算术来研究他们领域中最深层次的问题。几个世纪以来，数论研究的中心线一直是确定不同类型的多项式方程（如x² + y ² = z²）何时具有整数解。对于任何多项式方程，你可以尝试无限多种组合，这使得穷举搜索不可行。 但是要开始，你可以首先尝试在模数字系统中回答问题，你可以在其中实际检查每个可能的值。这种方法在行动中的例子很多。举个例子，17 世纪皮埃尔·德·费马向英国数学家提出挑战，要求证明方程y² = x³ − 2 只有两对整数解：(3, 5) 和 (3, -5)。事实证明，数学家发现解决这个问题的第一步是研究 mod 4 中的问题，这为他们提供了立足点，并确定x至少需要是奇数。 在其他情况下，模算术可以排除多项式方程具有任何整数解的可能性。首先，在模数系统中寻找解。如果你没有找到它们，你可以把你学到的东西转化为关于所有整数中同一个方程没有解的陈述。 “如果没有以素数为模的解，那么你就知道没有解，”Litt 说。 这是另一个例子，说明 1000 多年过去了，中国剩余定理仍然为更大的真理提供线索——使其成为数学中的有力工具，即使不再需要在将军之间传递秘密。 |
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